Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
∫
=
L
dzzf 0 для любого GL ⊂ .
Выберем произвольную дугу
1
γ
, соединяющую точки
0
z и z. Всякая другая дуга
2
γ
, соединяющая эти же точки, обра-
зует вместе с
1
γ замкнутый контур (см. рис. 3.8.1), поэтому
(
)
(
)
∫∫
γ−γ
=+
21
,0dzzfdzzf
где знак "–" перед
2
γ означает путь от z к
0
z .
Рис. 3.8.1
Меняя направление на
2
γ , имеем
()
(
)
∫∫
γγ
=−
21
0dzzfdzzf или
(
)
(
)
∫∫
γγ
=
21
,dzzfdzzf
т.е. независимо от пути интегрирования
()
∫
∪ zz
dzzf
0
– один и тот же.
В указанном случае этот интеграл удобнее обозначить в виде
()
∫
z
z
dzzf
0
.
Обратно, если L – произвольный замкнутый контур в G, то в случае независимости интеграла от пути, соединяющего лю-
бые z
0
и z имеем
() () () () ()
∫∫∫∫∫
+=+=
γ−γ
0
021
z
z
z
zL
dzzfdzzfdzzfdzzfdzzf .
Последние два интеграла можно вычислить (согласно предположению) вдоль отрезка прямой, соединяющего
0
z и z, а
тогда они отличаются лишь знаком. Значит
()
∫
=
L
dzzf 0 .
2
0
. В частности, из теоремы Коши вытекает, что интеграл аналитической функции вдоль любой дуги, соединяющей
0
z
и z, зависит лишь от положения
0
z и z;
0
z и z и упомянутые дуги предполагаются расположенными в области аналитично-
сти функции f.
3
0
. Т е о р е м а. В предположениях п. 2
0
функция
() ()
∫
=Φ
z
z
dssfz
0
является аналитической в G и
(
)()
zfz
=
Φ
′
. (3.8.1)
Д о к а з а т е л ь т в о. Пусть z – произвольна, Gz
∈
. В силу независимости интеграла от пути (см. п. 2
0
) для любого
приращения
z
∆ имеем
()()
() ()
=
−
∆
=
∆
Φ−∆+Φ
=
∆
∆Φ
∫∫
∆+ z
z
zz
z
dssfdssf
zz
zzz
z
00
1
()
.
1
dssf
z
zz
z
∫
∆+
∆
=
(3.8.2)
В последнем интеграле траекторией интегрирования можно выбрать отрезок прямой, соединяющей z и
z
z
∆
. В этом
случае (свойство 5 пункта 2
0
параграфа 3.5)
γ
2
Z
Z
0
γ
1

Страницы