ВУЗ:
Составители:
вдоль окружности 33 =− iz , обходимой в направлении против часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Запишем интеграл в таком виде, чтобы была применима формула п. 3
0
(
)
()
()
()
0
1
0
!
2
zf
n
i
dz
zz
zf
n
n
π
=
−
∫
γ
+
. (3.9.11)
В нашем случае
()
()
∫
γ
=
+
″
π
=
−
=
iz
z
i
iz
z
J
3
3
12
3
!2
2
3
,
так как
()
.3,2,
0
3
iznzzf === Вычисляя правую часть полученного равенства, имеем
π−=⋅π=⋅
π
=
=
18186
2
2
3
iiz
i
J
iz
.
П р и м е р 3. Вычислить
()
∫
γ
+
= ,
4
sin
2
2
z
dziz
J
γ – окружность 2=− iz , обходимая против часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Приведем интеграл J к виду (3.9.6). Для этого заметим, что
() ( )
(
)
izizizz 2224
2
22
+−=−=+ , и в круге
2≤− iz содержится лишь одна из двух точек (именно iz 2
=
), в которой знаменатель обращается в ноль (см. рис. 3.9.2).
Теперь
()()
(
)
()
∫∫
γγ
−
−
+
=
+−
= dz
iz
iziz
dz
iziz
iz
J
2
2
22
2
sin2
22
sin
.
Рис. 3.9.2
Применим формулу (3.9.11) с
() ( )
,sin2
2
izizzf
−
+= 1,2
0
=
=
niz . Имеем:
()
()
() ()
()
() ( ) () ( )
()
()
.2sin2cos2
1616
2cos
32
2sin
2
16
2cos
64
2sin2
22cos42sin422
cos2sin222
sin22
23
2
23
2
2
−
π
=
−π=
=
−
+
−
π=−+−−π=
=+++−π=
=
′
+π=
−−
=
−−
=
−
ii
i
i
i
iiiii
iziziizizi
iziziJ
iz
iz
8
0
. Рассмотрим произвольный гладкий (или кусочно-гладкий и необязательно замкнутый) путь L, функцию
(
)
zf , не-
прерывную на L и произвольную точку z , не лежащую на L. Интеграл вида
()
()
∫
−π
=
L
ds
zs
sf
i
z
2
1
Ф (3.9.12)
называется интегралом типа Коши. Очевидно, что интеграл, записанный в правой части равенства (3.9.1), является частным
случаем (3.9.12).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
