Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Г л а в а 4
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
4.1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА
1
0
. Рассмотрим ряд по степеням разности
()
0
zz − , где
0
z – данное комплексное число:
() () ()
......
00100
0
+−++−+=−
∑
∞
=
n
n
n
n
n
zzCzzCCzzC . (4.1.1)
Выше (в параграфе 2.4) установлено, что областью сходимости (4.1.1) является некоторый круг Rzz <−
0
; исключим
из рассмотрения тривиальный случай
0=R (случай единственной точки сходимости). Тогда при любом ρ , R
<
ρ
<
0 , сте-
пенной ряд (4.1.1) равномерно сходится (и даже мажорируем) в замкнутом круге
(
)
ρ
,0
zU , состоящем из точек z, таких, что
ρ≤−
0
zz (см. пп. 4
0
, 6
0
параграфа 2.4).
Если функция
()
zϕ равномерно по модулю ограничена, т.е. если существует const
=
Μ
, такая, что
(
)
Μ≤ϕ z
при
()
ρ∈ ,
0
zUz , то ряд
(
)
(
)
(
)()()
......
0010
+−ϕ++−ϕ+ϕ
n
n
zzzCzzzCzC (4.1.2)
остается мажорируемым в том же круге. Действительно, пусть ряд
...,2,1,0,0,
0
=>
∑
∞
=
naa
n
n
n
является мажорантным (т.е. сходящимся и таким, что
()
n
n
n
azzC ≤−
0
; читателю рекомендуется уточнить вид последова-
тельности
n
a ) для (4.1.1), тогда мажорантным для (4.1.2) оказывается, очевидно, ряд
∑
∞
=0
M
n
n
a .
2
0
. Установим возможность почленного интегрирования и дифференцирования степенных рядов и (при дополнитель-
ных предположениях о
()
zϕ ) рядов вида (4.1.2) в круге сходимости. Эта возможность будет вытекать, как частный случай,
из следующих утверждений.
3
0
. Т е о р е м а 1. Пусть члены равномерно сходящегося в круге
(
)
ρ,
0
zU ряда
(
)
(
)()
......
10
++
+
+
zfzfzf
n
(4.1.3)
непрерывны и L – некоторая дуга, расположенная в этом круге. Тогда, если
(
)
zf – сумма ряда (4.1.3), то возможно почлен-
ное интегрирование по дуге L:
(
)
(
)
(
)()
∫∫∫∫
++++=
L
n
LLL
dzzfdzzfdzzfdzzf ......
10
. (4.1.4)
Заметим, что утверждение теоремы уже включает в себя сходимость ряда (4.1.4); дуга L (по которой производится ин-
тегрирование), как и выше (в главе 3) предполагается параметрически заданной
(
)
(
)
tzz
=
и гладкой (либо кусочно-гладкой).
Доказательство проводится также, как в случае соответствующего свойства для рядов из функций действитель-
ного переменного. Во-первых (как отмечалось в п. 2
0
параграфа 2.4),
(
)
zf – непрерывна в указанном выше круге, т.е. инте-
грал от нее (вдоль L) существует. Во-вторых, достаточно доказать (по определению сходимости ряда), что разность
() () () ()
∫∫∫∫
+++−
LLL
n
L
dzzfdzzfdzzfdzzf ...
10
является при ∞→n бесконечно малой последовательностью. Действительно, модуль этой разности обладает оценкой
() () () ()()
=+++−
∫∫
LL
n
dzzfdzzfzfdzzf ...
10
() ()()() ()
,max l
−≤−=
∈
∫
zSzfdzzSzf
n
Lz
L
n
(4.1.5)
где
()
zS
n
– частная сумма ряда (4.1.3); −l длина дуги L.

Страницы