Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
(
)
∫
γ
−
−
−
⋅
−π
= ds
zs
zz
zs
sf
i
zf
0
0
0
1
1
2
1
, (4.2.4)
где z – произвольная точка в области G, а окружность
γ
с центром в точке
0
z проведена так, что z расположена внутри ее.
При таком выборе контура интегрирования (см. рис. 4.2.1)
00
zszz −<− ,
т.е.
0
0
ss
zz
q
−
−
=
обладает свойством 1<q .
Рис. 4.2.1
Теперь
......1
1
1
2
+++++=
−
n
qqq
q
является сходящимся рядом как сумма геометрической прогрессии (сходимость при
1<q
доказывается в точности так же,
как для случая прогрессии с действительными членами). Под знаком интеграла (4.2.4) получается ряд (по степеням
0
0
ss
zz
−
−
),
сходящийся при каждом z:
()
()
()
()
()
()
=
+
−
−
++
−
−
+
−
−
+
−π
=
∫
γ
ds
zs
zz
zs
zz
zs
zz
zs
sf
i
zf
n
n
......1
2
1
0
0
2
0
2
0
0
0
0
()
()
(
)
()
()
(
)
()
∫∫∫
γγγ
+
−
−
π
+
−
−
π
+
−π
= ...
2
1
2
1
2
1
3
0
2
0
2
0
0
0
ds
zs
sf
zz
i
ds
zs
sf
zz
i
ds
zs
sf
i
()
(
)
()
∫
γ
+
+
−
−
π
+ ...
2
1
1
0
0
ds
zs
sf
zz
i
n
n
. (4.2.5)
Почленное интегрирование возможно в силу теоремы 1, условия которой выполнены, так как:
а)
()
sf аналитична в G, следовательно, существует постоянная M, такая что
(
)
Msf ≤ на γ ;
б)
,const
0
==− rss где r – радиус выбранной окружности
γ
;
в) ряд вида
()
n
n
zs
zz
zs
sf
∑
∞
=
−
−
−
0
0
0
0
имеет тогда в качестве мажорантного сходящийся числовой ряд
,
0
∑
∞
=
n
n
q
r
M
где
0
0
zs
zz
q
−
−
=
, так что
1<q
.
Разложение (4.2.5) теперь совпадает с утверждением (4.2.2), если учесть определение (4.2.3) коэффициентов
n
C .
Следовательно, соотношения (4.2.1) и (4.2.2) доказаны. Заметим, что контур интегрирования в доказательстве мы вы-
брали так, чтобы точка z была заключена внутри его, однако, по теореме Коши для многосвязной области (см. параграф 3.7),
в качестве
γ можно выбрать любую окружность с центром в
0
z , лежащую в G.
5
0
. При 0
0
=z (4.2.1) называется рядом Маклорена:

Страницы