ВУЗ:
Составители:
(
)
(
)
(
)
(
)
z
eizizzf
π−
−+=
33
.
В первом случае iz =
0
является нулем 3-го порядка для
(
)
zf , поскольку при
(
)
(
)
z
eizz
π−
+=ϕ
3
имеем:
() ( )
(
)
(
)
(
)
.08sincos82
3
≠=π−+π−−==ϕ
π−
iiieii
i
Во втором случае имеем iz
−
=
0
нулем 3-го порядка для
(
)
zf . Здесь
(
)
(
)
z
eizz
π−
−=ϕ
3
и
(
)
(
)
082
3
≠−=−=−ϕ
π
ieii
i
.
Итак,
()
zf имеет нулями 3-го порядка точки i и –i.
4.3. РЯД ЛОРАНА
1
0
. Рассмотрим ряд вида
() ()
()()
.........
2
02010
0
1
2
0
2
0
+−+−++
−
+
−
++
−
+
−−
−
zzCzzCC
zz
C
zz
C
zz
C
n
n
() ()
,...
00
∑
∞
−∞=
−=+−+
n
n
n
n
n
zzCzzC (4.3.1)
содержащий как неотрицательные, так и отрицательные степени разности
0
zz
−
,
0
zz
≠
. Если (4.3.1) записать в виде
()
()
,
10
0
0
∑∑
∞
=
∞
=
−
−+
−
nn
n
n
n
n
zzC
zz
C
(4.3.2)
то первый из рядов можно рассматривать как степенной:
n
n
n
wC
∑
∞
=
−
1
, где
0
1
zz
w
−
=
.
В своем круге сходимости Rw < , 0≠R , его сумма есть некоторая однозначная аналитическая функция
()
−
ϕ=ϕ
0
1
zz
w
.
Будучи суперпозицией аналитических функций,
−
ϕ
0
1
zz
как функция от z (где
0
zz ≠ ) также аналитична при
R
zz
w <
−
=
0
1
. Итак, для
R
zz
1
0
>− , имеем:
ϕ
аналитична во "внешности" круга
()
10
; RzU ; не исключен и случай
0
1
=R (если ∞=R ). Точно так же, второй ряд в (4.3.2) сходится при
20
Rzz <− с некоторым
2
R ; пусть 0
2
>R . Сумма это-
го ряда есть некоторая (аналитическая в этом круге) функция
(
)
z
ψ
.
Если
21
RR < , то существует общая область, в которой сходятся оба ряда в (4.3.2), т.е. оказывается, что (4.3.1) имеет
областью сходимости некоторое кольцо с центром в точке
0
z :
201
RzzR <−< (рис. 4.3.1); функция
() ()
z
zz
zf ψ+
−
ϕ=
0
1
.
Теперь возникает обратная задача: пусть
()
zf однозначна и аналитична в некотором кольце
201
RzzR <−<
. Можно
ли ее разложить в степенной ряд вида (4.3.1) и, если можно, то каковы коэффициенты этого ряда?
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
