ВУЗ:
Составители:
Рис. 4.3.1
3
0
. Рассуждения, приводящие к разложению
(
)
zf в ряд (4.3.1), будут носить тот же характер, что в параграфе 4.2. Про-
ведем внутри кольца окружности
γ
и Γ с центром в точке
0
z так, чтобы z оказалась внутренней точкой в новом кольце (т.е.
между
γ и Γ ); пусть c – окружность (с центром в точке z) столь малого радиуса, что также расположена между
γ
и
Γ
. Те-
перь по теореме Коши для многосвязной области (ограниченной c,
γ
и
Γ
) имеем
()
(
)
(
)
∫∫∫
γΓ
−π
+
−π
=
−π
C
ds
zs
sf
i
ds
zs
sf
i
ds
zs
sf
i
,
2
1
2
1
2
1
если теорему применить к аналитической функции
(
)
zs
sf
−
.
По интегральной формуле Коши
(
)
()
∫
=
−π
C
zfds
zs
sf
i
,
2
1
следовательно,
()
() ()
.
2
1
−
−
−π
=
∫∫
Γγ
ds
zs
sf
ds
zs
sf
i
zf (4.3.3)
Представим дробь
zs −
1
на окружности Γ в виде
()()
∑
∞
=
−
−
−
=
−
−
−
⋅
−
=
−−−
=
−
0
0
0
0
0
0
000
,
1
1
1111
n
n
zs
zz
ss
zs
zz
sszzzszs
так как при
0
0
zs
zz
q
−
−
=
имеем на
Γ
1<q , а значит
∑
∞
=
=
−
0
1
1
n
n
q
q
.
Подобным образом на γ :
m
m
zz
zs
zz
zz
zs
zzzs
−
−
−
−=
−
−
−
−
−
=
−
∑
∞
=
0
0
0
0
0
0
0
1
1
111
,
так как
0
0
zz
zs
q
−
−
=
обладает свойством 1<q на γ .
Почленно интегрируя в (4.3.3) полученные ряды (обоснование почленного интегрирования было приведено в параграфе
4.2), получим:
()
()
()
()
+−⋅
−
π
=
∑
∫
∞
=
Γ
+
0
0
1
0
2
1
n
n
n
zz
ss
sf
i
zf
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
