Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
...
!
0
...
!2
0
!1
0
0
2
+++
′′
+
′
+=
n
n
z
n
f
z
f
z
f
fzf .
В частности, равенства (2.5.1), (2.5.2), (2.5.3), выведенные ранее как определения соответствующих элементарных
функций, могут теперь быть истолкованы как разложения в ряды Маклорена. Список подобных разложений можно допол-
нить. Например,
() ()
.1,...
1
1...
32
1ln
132
<+
+
−+−+−=+
+
z
n
zzz
zz
n
n
6
0
. Пусть теперь
()
zf аналитична в произвольной точке
0
z . Ее можно выбрать в качестве центра круга (достаточно
малого радиуса), в котором
()
zf остается аналитичной, а затем разложить
(
)
zf в ряд Тейлора (4.2.1). Говорят, что (4.2.1)
есть разложение
()
zf в окрестности
0
z .
Если
()
0
0
=zf , то разложение в окрестности
0
z , записанное в форме (4.2.2), имеет вид
(
)
(
)
(
)()
......
0
2
0201
+−++−+−=
n
n
zzCzzCzzCzf , (4.2.6)
так как
()
0
00
== zfC . Может случится так, что 0...
110
=
=
=
=
−n
CCC , но 0
≠
n
C , т.е.
(
)
(
)()
...
1
010
+−+−=
+
+
n
n
n
n
zzCzzCzf . (4.2.7)
В этом случае точку
0
z называют нулем n-го порядка функции
(
)
zf , а при 1
=
n (случай (4.2.6)) – простым нулем. Итак (см.
(4.2.1)), если
() ()
(
)
(
)
,0...
0
1
00
===
′
=
−
zfzfzf
n
но
(
)
(
)
0
0
≠zf
n
,
то
0
zz = является нулем n-го порядка для
()
zf .
7
0
. Т е о р е м а. Пусть
()
zf аналитична в точке
0
z . Эта точка является нулем n-го порядка для
()
zf тогда и только то-
гда, когда существует аналитическая (в точке
0
z ) функция
(
)
z
ϕ
, такая, что
(
)
0
0
≠
ϕ
z и
(
)
(
)()
zzzzf
n
ϕ−=
0
. (4.2.8)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если
0
z – нуль n-го порядка, то согласно (4.2.7)
(
)
(
)()
(
)
,...
010
+−+−=
+
zzCCzzzf
nn
n
(4.2.9)
причем степенной ряд
(
)
...
01
+
−
+
+
zzCC
nn
служит остатком для (4.2.2), а значит имеет тот же круг сходимости. Следовательно, его сумма
()
zϕ аналитична в указанном
круге, причем
()
0...00
0
≠
=
+
+
+
=
ϕ
nn
CCz .
Тогда равенство (4.2.9) принимает вид (4.2.8), где
(
)
0
0
≠
ϕ z .
Докажем обратное утверждение. Пусть
()
zf представима в виде (4.2.8), где
(
)
z
ϕ
аналитична в точке
0
z и
(
)
0
0
≠
ϕ
z .
Разложим
()
zϕ в ряд (4.2.2) в окрестности точки
0
z :
() ( )
...
~~
010
+−+=ϕ zzCCz , где 0
~
0
≠C (так как
(
)
0
0
≠
ϕ
z ).
В силу (4.2.8) в указанной окрестности
() ( )
(
)
0
~
...;
~
~
0
1
0100
≠+−+−=
+
CzzCzzCzf
nn
.
Следовательно,
()
zf имеет разложение вида (4.2.7). Переобозначив коэффициенты в виде
...,
~
,
~
110
CCCC
nn
==
+
, получаем
(4.2.7), где
0≠
n
C , т.е.
0
z оказалась нулем n-го порядка для
(
)
zf , что и есть обратное утверждение. Теорема полностью
доказана.
8
0
. П р и м е р. Найти нули функции
()
(
)
z
ezzf
π−
+=
3
2
1 .
Р е ш е н и е. Так как
(
)
(
)
(
)
izizizz +−=−=+
2
22
1 ,
то
(
)
(
)
(
)
(
)
z
eizizzf
π−
+−=
33
и в то же время

Страницы