Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Ввиду равномерной сходимости (см. п. 2
0
параграфа 2.4) ряда (4.1.3) правая часть (4.1.5) стремится к нулю (при
∞→n ), чем и доказано соотношение (4.1.4).
В частности, если
()
zϕ непрерывна в круге
(
)
ρ;
0
zU (а значит, и ограничена по модулю), то мажорируемый (и, следо-
вательно, равномерно сходящийся к своей сумме) ряд (4.1.2) допускает почленное интегрирование.
4
0
. Т е о р е м а 2. Если члены ряда (4.1.3) аналитичны в круге
(
)
ρ;
0
zU и ряд равномерно сходится к сумме
(
)
zf в
этом круге, то и
()
zf аналитична для всех
()
ρ∈ ;
0
zUz .
Схема доказательства теоремы для случая произвольной точки
(
)
pzUz ;
0
∈
состоит в следующем:
а) пусть
γ – некоторая окружность с центром в точке
z
, целиком лежащая внутри
()
ρ;
0
zU , тогда
(
)
(
)
γ∈
−
=
−
∑
∞
=
s
zs
sf
zs
sf
n
n
,
0
,
причем члены ряда аналитичны (как функции от s) вместе с
(
)
sf
n
;
б) согласно теореме 1 возможно почленное интегрирование ряда по окружности
γ
(обход – в направлении против часо-
вой стрелки):
()
()
∫
∑
∫
γ
∞
=
γ
−π
=
−π
0
2
1
2
1
n
n
ds
zs
sf
izs
dssf
i
или, согласно интегральной формуле Коши,
(
)
()
∑
∫
∞
=
γ
=
−π
0
2
1
n
n
zf
zs
dssf
i
,
а тогда сумма ряда (4.1.3)
()
zf оказывается совпадающей с интегралом "типа Коши":
()
(
)
∫
γ
−π
=
zs
dssf
i
zf
2
1
;
в) этот интеграл представляет собой аналитическую в
(
)
ρ,
0
zU функцию (подобное утверждение обсуждалось выше),
т.е.
()
zf , ввиду произвольности z, аналитична в указанном круге.
В частности, сумма степенного ряда (4.1.1) аналитична в круге сходимости.
4.2. РЯД ТЕЙЛОРА
1
0
. Пусть
()
zfw = однозначна и аналитична в круге G с центром в некоторой точке
0
z . Поставим задачу: разложить
()
zf в ряд по степеням разности
(
)
0
zz − .
Подобная задача для функций действительной переменной при некоторых условиях на функцию (помимо дифференци-
руемости сколь угодно много раз) решалась в виде ряда Тейлора. В случае аналитической
()
zf интегральная формула Коши
позволяет "напрямую" получать аналог тейлоровского ряда.
2
0
. При условиях п. 1
0
для любой Gz ∈ имеет место разложение
() ( )
(
)
()
(
)
()
()
()
()
...,
!
...
!2!1
0
0
2
0
0
0
0
0
+−++−
′′
+−
′
+=
n
n
zz
n
zf
zz
zf
zz
zf
zfzf (4.2.1)
что будет доказано ниже, в п. 4
0
.
3
0
. Другая форма (4.2.1) оказывается следующей:
() ( )
n
n
n
zzCzf
0
0
−=
∑
∞
=
, (4.2.2)
где
()
()
∫
γ
+
−
π
=
1
0
2
1
n
n
zs
dssf
i
C
; (4.2.3)
γ – любая окружность с центром в точке
0
z , обходимая против часовой стрелки и целиком лежащая в области G.
Разложения (4.2.1) и (4.2.2) эквивалентны, так как коэффициенты при
(
)
n
zz
0
− , записываемые в виде
(
)
(
)
!
0
n
zf
n
, совпа-
дают с правой частью (4.2.3):
(
)
(
)
(
)
()
∫
γ
+
−
π
=
1
0
0
2
1
!
n
n
zs
dssf
in
zf
ввиду формулы (3.9.8) для
()
()
0
zf
n
.
4
0
. Итак, достаточно доказать (4.2.2). Так как
(
)
zf аналитична в G, то по формуле Коши

Страницы