Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Интеграл вида (3.9.12) определяет однозначную функцию
(
)
zФ во всякой области D, не содержащей ни одной точки
пути L. Можно доказать, что эта функция в области D обладает производными любого порядка, причем n-я производная мо-
жет быть найдена путем формального n-кратного дифференцирования выражения под знаком интеграла:
()
()
(
)
()
.
2
!
Ф
1
∫
+
−
π
=
L
n
n
ds
zs
sf
i
n
z
3.10. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3
1
0
. Найти точки, в которых данная
()
zfw = :
а) дифференцируема;
б) аналитична:
1)
z
ew
21−
= ; 2)
2
cosz
w =
; 3) 1
2
+−= zzw ;
4)
z
z
w =
; 5)
(
)
1−= zzw ; 6)
2
Rezw = .
2
0
. Найти аналитическую функцию
()
zfw = , для которой
а) действительная часть равна
()
22
44, yxyxu −= ;
б) мнимая часть равна
()
yeyxv
x
2sin3,
2
= .
3
0
. Найти угол поворота α и коэффициент растяжения k при отображении
(
)
zfw
=
в точке
0
z , если
1) ;1,1
0
2
=+−= zizw 2) π−=−= izeiw
z
0
, .
4
0
. Вычислить интеграл:
1)
()
∫
−
L
dzizzIm вдоль линии
2
ixxz += от точки iz
+
=
1
1
до точки iz
+
−
=
1
2
;
2)
∫
L
dzzz вдоль дуги окружности
ϕ
=
i
ez 2 в направлении против часовой стрелки от точки 2
1
=z до точки iz 2
2
=
;
3)
()
∫
−
L
dzz
2
1 вдоль отрезка прямой, соединяющей точки:
а) 1
1
−= iz и iz −=1
2
; б) 2
1
−=z и iz 4
2
= ;
4)
()
∫
−
L
dzzz Re2 вдоль ломанной, соединяющей точки ,2
1
=
z iz 22
2
+
=
, iz 2
3
=
.
5
0
. Вычислить интеграл по замкнутому контуру L в направлении против часовой стрелки:
1)
∫
π
−
L
dz
i
z
iz
;
2
sin
L – окружность 2=z ;
2)
∫
+
−
L
z
dz
z
ez
;
1
2
L – окружность: а) 1=−iz ; б) 11 =+z ;
в)
13 =− iz
;
3)
()
()
∫
−
−
L
dz
iz
iz
;
cos
3
L – окружность 32 =z ;
4)
()
∫
−
+
L
dz
zz
iz
;
2
2
L – окружность 9,12 =−z ;
5)
()
∫
−
π
L
zi
dz
z
e
;
1
2
2
L – окружность 22 =+z .

Страницы