ВУЗ:
Составители:
()
()
()
∑
∫
∞
=
+
γ
−
−
⋅
−
π
+
0
1
00
1
2
1
m
mm
zz
ds
ss
sf
i
. (4.3.4)
Если во второй сумме изменить нумерацию по формуле 1
+
=
mn и обозначить
()
()
∫
Γ
+
−
π
= ;
2
1
1
0
ds
ss
sf
i
C
n
n
(
)
()
∫
γ
+−
−
−
π
= ,
2
1
1
0
ds
ss
sf
i
C
n
n
то приходим к доказываемому разложению вида (4.3.2). При вычислениях
n
C контуром интегрирования (согласно теореме
Коши для двусвязной области) может быть выбрана любая окружность
l (с центром в точке
0
z ), расположенная целиком в
данном кольце (вместо ранее рассмотренных контуров
γ
и
Γ
).
Итак, согласно (4.3.4)
() ( )
,
0
∑
∞
−∞=
−=
n
n
n
zzCzf (4.3.5)
где
(
)
()
∫
±±=
−
π
=
+
l
...,2,1,0;
2
1
1
0
nds
ss
sf
i
C
n
n
(4.3.6)
4
0
. Поставленная задача решена:
()
zf , аналитичная в указанном кольце, может быть представлена в виде суммы ряда
(4.3.5), называемой рядом Лорана; коэффициенты ряда вычисляются по формулам (4.3.6).
Впрочем, иногда можно применить другие, более простые приемы. Продемонстрируем их на примерах.
5
0
. П р и м е р 1. Функцию
()
2
1
+
=
z
zf разложить в ряд по степеням
(
)
1
−
z .
Р е ш е н и е. Центром кольца (или колец), в которых будет происходить разложение, должна быть, согласно условию,
точка 1
0
=z . Особой точкой является 2
1
−=z , лежащая на окружности с центром
0
z радиуса 3=R (см. рис. 4.3.1), т.е. на
окружности
31 =−z
.
Следовательно, предстоит вести рассмотрение для
31 <−z и 31 >−z отдельно. В каждом случае воспользуемся
суммой бесконечной геометрической прогрессии:
()
1...;1...1
1
1
2
<+−+−+−=
+
qqqq
q
n
n
.
Рис. 4.3.1
В первом случае представим
()
()
.
3
1
1
1
3
1
13
1
−
+
⋅=
−+
=
z
z
zf
Здесь
1
3
1
<
−
=
z
q для
31 <−z ; следовательно,
()
(
)
()
(
)
....
3
1
1...
3
1
3
1
1
3
1
2
2
+
−
−+−
−
+
−
−⋅=
n
n
n
zzz
zf
Во втором случае
()
()
1
3
1
1
1
1
31
1
−
+
⋅
−
=
+−
=
z
zz
zf
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
