Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Т е о р е м а 1. Если в некоторой окрестности особой точки
0
z функция
(
)
zf ограничена, т.е. существует постоянная
M, такая, что
()
Mzf < во всех точках этой окрестности, то
0
z – устранимая особая точка.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что
0
=
−n
C для всех ...,2,1
=
n . Имеем согласно (4.3.6) для произволь-
ной окружности
l с центром в точке
0
z радиуса ρ (столь малого, что окружность l целиком расположена в указанной ок-
рестности), что
()
()
n
nn
n
MMdz
zz
zf
i
C ρ=πρ⋅
ρ
⋅⋅
π
≤
−
π
=
+−+−
−
∫
2
1
2
1
2
1
11
0
l
,
если повторить рассуждения п. 5
0
параграфа 3.9. В силу произвольной малости
ρ
все 0
=
−n
C , что и утверждалось.
Итак, в окрестности устранимой особой точки
0
z
(
)
(
)()
......
0010
+−++−+=
n
n
zzCzzCCzf (4.4.4)
Если в точке
0
z доопределить функцию
()
zf суммой этого ряда при
0
zz
=
, т.е. положить
()
00
Czf = , то (4.4.4) как сумма
степенного ряда в круге
Rzz <−
0
будет аналитична (в том числе, аналитична и в точке
0
z ). Тем самым мы как бы устра-
нили "особенность" в точке
0
z , сделав эту точку правильной.
Например, при
0≠z из соотношения (2.5.2) получаем
()
()
...,
!12
1...
!5!3
1
sin
242
+
+
−+−+−=
n
zzz
z
z
n
n
т.е. точка 0=z является особой и устранимой. Достаточно положить 1
sin
=
z
z
при 0
=
z , чтобы эта точка стала правильной.
3
0
. Рассмотрим случай б).
Т е о р е м а 2. Точка
0
z тогда и только тогда является полюсом n-го порядка, когда существует аналитическая в точке
0
z функция
()
zϕ , такая что
()
0
0
≠
ϕ z и
()
(
)
()
n
zz
z
zf
0
−
ϕ
=
. (4.4.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
0
z – полюс n-го порядка, тогда (по определению)
()
() ()
()
;0,...
1
0
0
1
2
0
2
0
≠−+
−
+
−
++
−
=
−
∞
=
−−
−
∑
n
n
n
n
n
n
CzzC
zz
C
zz
C
zz
C
zf
другими словами,
()
()
() ()
+−++−+
−
=
−
−−−
1
0110
0
...
1
n
nn
n
zzCCzzC
zz
zf
() ()
−−+
∑
∞
=
1
00
n
n
n
n
zzCzz
. (4.4.6)
По условию (так как
()
zf в окрестности точки
0
z аналитична), правильная часть ряда Лорана – сходящийся (в окрестности
точки
0
z ) степенной ряд, сумму которого можно считать аналитичной и в точке
0
z , доопределив ее значением
0
C (см.
п. 2
0
). Следовательно, сумма, записанная в скобках в (4.4.6), – это некоторая аналитическая функция
()
zϕ , т.е. мы пришли к
(4.4.5); при этом
()
0
0
≠=ϕ
−n
Cz .
Обратно, пусть
()
zf имеет вид (4.4.5) и
()
0
0
≠
ϕ z . Разложив
(
)
z
ϕ
в ряд вида (4.2.2), имеем
()
()
() () ()
{}
=+−+−++−+
−
=
+
+
......
1
1
010010
0
n
n
n
n
n
zzCzzCzzCC
zz
zf
()()
()
,......
01
1
0
1
0
0
+−+++
−
+
−
=
+
−
zzCC
zz
C
zz
C
nn
nn
где
()
0
00
≠ϕ= zC . Таким образом, в полученном разложении Лорана коэффициент
0
C перед
()
n
zz
0
1
−
отличен от нуля, т.е.
0
z оказывается полюсом n-го порядка. Теорема полностью доказана.

Страницы