Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Функция
()
zϕ
1
является аналитичной в окрестности точки
0
z . Действительно, вместе с
(
)
0
0
≠
ϕ
z все значения
(
)
z
ϕ
из доста-
точно малой окрестности
0
z остаются ненулевыми, поскольку
(
)
z
ϕ
аналитична, а значит и непрерывна в этой окрестности.
Согласно соотношению (4.4.8) для
()
zfm 0= ограничена в окрестности точки
0
z , т.е.
0
z – устранимая особая точка; для
0≠m (4.4.8) означает, что
0
z – полюс m-го порядка. В обоих случаях получаем противоречие с условием теоремы.
Значит, утверждение теоремы 4 установлено.
В иной форме теорема Сохоцкого-Вейерштрасса звучит так: если
0
z – существенно – особая точка функции
(
)
zf , то
для любого комплексного числа B найдется последовательность точек
k
z , такая, что
0
zz
k
→ и
(
)
Bzf
k
k
=
∞→
lim .
Найдется также и последовательность
0
zz
k
→ , такая, что
(
)
+∞=
∞→
k
k
zflim .
5
0
. П р и м е р. Определить характер каждой особой точки функции:
а)
()
()
3
2
4+
=
z
z
zf
; б)
(
)
zzf tg
=
; в)
()
ee
zf
z
−
=
1
; г)
()
z
z
zf
1
ln
+
=
.
Р е ш е н и е. а) Запишем
()
zf в виде
()
()
(
)
()()
333
2
2
22
2
iziz
z
iz
z
zf
+−
=
−
=
.
Изолированными особыми точками являются iz 2
1
= и iz 2
2
−
=
. Рассмотрим случай
1
z :
()
()
()
(
)
()
333
222
1
iz
z
iz
z
iz
zf
−
ϕ
=
+
⋅
−
= , где
()
()
3
2iz
z
z
+
=ϕ .
В точке iz 2
1
= функция
()
zϕ аналитична, при этом
()
()
0
32
1
4
2
3
1
≠−==ϕ
i
i
z
. Теперь, согласно теореме 2 (см. (4.4.5)) видим,
что
iz 2
1
= – полюс третьего порядка.
Аналогично,
()
()
()
z
iz
zf ψ⋅
+
=
3
2
1
, где
()
()
3
2iz
z
z
−
=ϕ
– аналитична в точке iz 2
2
−= и
(
)
02 ≠
−
ψ i ; таким образом и точка iz 2
2
−
=
– полюс третьего порядка.
б)
()
zzf tg= достаточно рассмотреть при π≤z в силу периодичности тангенса. Поскольку
z
z
z
cos
sin
tg =
, и 0cos
=
z
при
2
π
±=
z , то следует определить "кратность" указанных нулей. Так как
−
π
= zz
2
sincos
, то согласно разложению (2.5.2)
имеем
()
()
() ()
,...
2!3
1
1 где,
2
...
!12
2
1...
!3
2
2
cos
2
123
+
−
π
−=ϕϕ⋅
−
π
=
=+
+
−
π
−++
−
π
−
−
π
=
+
zzzz
n
zz
zz
n
n
при этом
()
zϕ аналитична для
2
0
π
=z и
()
01
0
≠=ϕ z .
Значит,
()
z
z
z
z
ϕ
⋅
−
π
=
sin
2
1
tg
, где
()
1
2
2
sin
0
=
π
ϕ
π
=ψ z
для аналитической в точке
2
0
π
=z
функции
()
()
z
z
z
ϕ
=ψ
sin
, так что
()
z
z
z ψ
−
π
=
2
1
tg .

Страницы