Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу (4.4.5)
2
π
=z
является простым полюсом для
(
)
zf ; точно так же, из представления
π
+=
2
sincos zz получаем,
что
2
π
−=z
– простой полюс. С учетом периодичности
(
)
zf (период
π
=
Τ
) все точки вида ...,2,1,0,
2
±±=π+
π
= kkz
k
–
простые полюса для
()
.tgzzf =
в)
()
()
1
1
1
−
=
−z
ee
zf
, где согласно (2.5.1)
()
(
)
()
+
−
+−=−
+
−
++
−
+
−
+=−
−
...
!2
1
111...
!
1
...
!
1
!1
1
11
2
1
z
z
n
z
z
zz
e
n
z
;
из этого представления вытекает, что
()
(
)
1
−
ϕ
=
z
z
zf
,
где
()
+
−
+
=ϕ
...
!2
1
1
1
z
e
z
– аналитична в точке
1=
z
и
()
.0
1
1 ≠=ϕ
e
Следовательно,
1
=
z
– простой полюс функции
(
)
zf .
г) Запишем
()
zf в виде
()
+=
z
zf
1
1ln . Воспользовавшись разложением Маклорена (п. 5
0
параграфа 4.2) логарифми-
ческой функции для аргумента
z
1
(вместо z) имеем
()
()
...
1
1
1...
3
1
2
111
1ln
32
+
+
−+−+−=
+
n
n
znzz
zz
.
Теперь мы видим, что 0=z – существенно особая точка для
(
)
zf .
6
0
. В связи с возможностью представления функций степенными рядами выделяют классы целых и мероморфных
функций.
Рассмотрим функцию
()
zf , однозначную и аналитическую в любой окрестности нуля. Как нам известно (параграф
4.2), ее можно представить в виде суммы ряда по целым неотрицательным степеням z. Возможны случаи:
а) коэффициенты ряда (4.2.2)
0......
21
=
=
===
n
ССС , значения
(
)
zf при всех z совпадают с ;
0
С в этом случае
;const)( ≡zf
б) среди коэффициентов ряда (4.2.2) – лишь конечное число ненулевых; в этом случае
()
zf есть многочлен
(
)
zP
n
не-
которой степени
;, N∈nn
в) среди коэффициентов ряда (4.2.2) – бесконечное множество отличных от нуля чисел; в этом случае
(
)
zf называют
целой трансцендентной функцией.
Ясно, что случай а) соответствует тому, что для
(
)
zf 1 точка 0
=
z является устранимой особой точкой, случай б) –
тому что для
()
zf 1 эта точка есть полюс n-го порядка; в случае в) имеем дело с существенно особой точкой.
Если функцию
()
zf можно представить в виде частного двух целых функций
()
(
)
()
z
z
zf
ψ
φ
=
(где
()
zψ не равна нулю тождественно), то
()
zf называется мероморфной функцией. В частности, мероморфными являют-
ся функции целые (случай
()
zψ
≡
1) и рациональные (частные двух многочленов).
Особыми точками мероморфной функцией
(
)
zf могут быть, очевидно, только нули функции
()
zψ , которые оказыва-
ются полюсами для
()
zf ; число полюсов может оказаться и бесконечным: так, например, функция
z
z
z
cos
sin
tg =
имеет полю-
сами все нули функции
z
cos , количество которых бесконечно.
Можно доказать, что мероморфная функция, обладающая конечным количеством полюсов, представима в виде суммы
целой и рациональной функций.
4.5. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4
1
0
. Разложить данную функцию
()
zf в ряд Тейлора в окрестности данной точки
0
z , пользуясь стандартными разложе-
ниями:
а)
() ( )
2;2
0
−=+= zezzf
z
;

Страницы