Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Согласно (4.4.5),
0
zz = – полюс n-го порядка для
(
)
zf тогда и только тогда, когда эта точка является нулем n-го по-
рядка для функции
()
zf
1
.
Т е о р е м а 3. Точка
0
zz = является полюсом (n-го порядка) функции
(
)
zf тогда и только тогда, когда
(
)
+∞=
→
zf
zz
0
lim .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно формуле (4.4.5) в точке
0
z , являющейся полюсом n-го порядка
()
(
)
+∞=
−
ϕ
=
→→
n
zzzz
zz
z
zf
0
00
limlim
,
так как
()
0
z
ϕ
существует в силу аналитичности
ϕ
в точке
0
z и
(
)
0
0
≠
ϕ
z .
Обратно, если
(
)
∞=
→
zf
zz
0
lim , то
()
0
1
lim
0
=
→
zf
zz
,
а тогда точка
0
z являются нулем (некоторого n-го порядка) для
()
()
zf
zg
1
=
, т.е.
()()
()
zf
zzz
n
1
0
=ϕ− ,
где
()
z
ϕ
аналитична в точке
0
z и
()
0
0
≠
ϕ
z (см. соотношение (4.2.8)).
Теперь
()
()
()
,
1
0
n
zz
z
zf
−
ϕ
=
где
()
zϕ
1
аналитична в точке
0
z так как
()
0
0
≠ϕ z .
Следовательно,
()
zf имеем вид (4.4.5), а тогда, по теореме 2,
0
zz
=
– полюс n-го порядка. Теорема 3 доказана.
4
0
. Рассмотрим, наконец, случай в) существенно особой точки
0
zz
=
. Поведение
()
zf в ее окрестности описывается
следующей теоремой Сохоцкого-Вейерштрасса.
Т е о р е м а 4. Для любого
0>ε и любого комплексного числа B в каждой окрестности точки
0
z найдется хотя бы од-
на точка
z
, такая что
(
)
ε<− Bzf .
Смысл теоремы состоит в том, что в достаточно малых окрестностях существенно особой точки
()
zf может принять
значение, сколь угодно близкое к наперед заданному произвольному числу B.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное: для заданных B и
0>
ε
найдется такая окрестность U точки
0
z , что
()
ε≥− Bzf при всех Uz
.
Но тогда функция
()
()
Bzf
zg
−
=
1
(4.4.7)
определена и ограничена в указанной окрестности точки
0
z , так как
()
()
ε
≤
−
=
11
Bzf
zg
.
Следовательно, согласно теореме 1, точка
0
z является устранимой особой точкой для
()
zg . Тогда при
0
zz
≠
(
)
zg есть
сумма степенного ряда (4.4.4), т.е. равна некоторой аналитической функции. При этом не исключено, что первые несколько
коэффициентов
...,,
10
CC в (4.4.4) равны нулю, т.е.
(
)( )
(
)
zzzzg
m
ϕ−=
0
при некотором
(
)
0...;,1,0
0
≠
ϕ
=
zm .
Согласно определению (4.4.7)
()
()
()
()
z
zz
B
zg
Bzf
m
ϕ
⋅
−
+=+=
111
0
. (4.4.8)

Страницы