Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

для 1
1
3
<
−
=
z
q
(а это верно при 31 >−z ) имеем
()
()
()
()
....
1
3
1...
1
3
1
3
1
1
1
2
2
+
−
−+−
−
+
−
−⋅
−
=
n
n
n
zz
zz
zf
Итак,
()
()
(
)
...
3
1
1...
3
1
3
1
3
1
)(
13
2
2
+
−
−+−
−
+
−
−=
+n
n
n
zzz
zf
в круге 31 <−z ;
()()
()
()
...
1
3
1...
1
3
1
3
1
1
)(
13
2
2
+
−
−+−
−
+
−
−
−
=
+n
n
n
zzz
z
zf
для 31 >−z .
П р и м е р 2.
()
2
1
cos
3
zzf = разложить по степеням z.
Р е ш е н и е. Функция
()
zf аналитична при всех 0
≠
z , т.е. для 0>z . В этой области воспользуемся разложением
Маклорена функции
wcos (см. (2.5.3)) при
z
w
1
=
:
()
()
...
!2
1
1...
!4
1
!2
1
1
1
cos
242
+−+−+−=
n
n
znzz
z
.
Почленно умножая на
3
z
, получаем разложение
() ()
()
.0...;
!2
1
1...
!4
1
!2
32
3
>+−+−+−=
−
z
zn
z
z
zzf
n
n
4.4. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
1
0
. Особая точка
0
z функции
()
zf , т.е. точка, в которой
(
)
zf не аналитична, называется изолированной, если в неко-
торой окрестности
0
z не существует других особых точек для
(
)
zf . Другими словами,
()
zf аналитична в некоторой окре-
стности точки
0
z , но не в самой этой точке.
Окрестностью точки
0
z служит "кольцо" вида
201
RzzR <−<
, для которого 0
1
=
R . Разложение Лорана
(
)
zf в этом
"кольце" называем рядом Лорана в окрестности данной изолированной особой точки.
Будем называть ряд
(
)()
......
0010
+−++−+
n
n
zzCzzCC (4.4.1)
правильной частью, а ряд
() ()
......
0
2
0
2
0
1
+
−
++
−
+
−
−
−−
n
n
zz
C
zz
C
zz
C
(4.4.2)
– главной частью ряда Лорана
() ( )
∑
∞
−∞=
−=
n
n
n
zzCzf
0
. (4.4.3)
Возможны также случаи:
а) Ряд Лорана (4.4.3) состоит из своей правильной части, т.е.
.0......
21
=
=
=
=
=
−−− n
CCC
Тогда точку
0
z называем устранимой особой точкой (из дальнейших рассуждений станет ясно, почему выбран такой тер-
мин).
б) Главная часть ряда Лорана содержит только конечное число ненулевых членов, например, она имеет вид
() ()
,...
0
2
0
2
0
1
n
n
zz
C
zz
C
zz
C
−
++
−
+
−
−
−−
т.е.
() ( )
.0...
21
=
=
=
+−+− nn
CC
В этом случае точку
0
z называем полюсом n-го порядка; в частности, при 1
=
n – простым полюсом.
в) если главная часть (4.4.2) имеет бесконечное количество ненулевых членов, то точка
0
z называется существенно
особой.
2
0
. Рассмотрим случай а). Имеет место

Страницы