Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Г л а в а 5
ВЫЧЕТЫ
5.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ
1
0
. Пусть
0
zz = – правильная или изолированная особая точка однозначной функции
()
zf . Тогда
(
)
zf аналитична в
некоторой окрестности точки
0
z . Выберем произвольную окружность
γ
с центром в точке
0
z , целиком расположенную в
указанной окрестности и направление обхода против часовой стрелки на
γ
.
Величину
()
dzzf
i
∫
γ
π2
1
(5.1.1)
назовем вычетом функции
()
zf относительно точки
0
z и обозначим в виде Выч
(
)
[
]
0
; zzf . При сформулированных усло-
виях интеграл (5.1.1) существует и, в силу теоремы Коши для многосвязной (именно, двусвязной) области (см. (3.7.3)), не
зависит от выбора контура интегрирования
γ , расположенного в указанной окрестности точки
0
z .
2
0
. В разложении
()
zf в окрестности
0
z в ряд Лорана
1−
C = Выч
(
)
[
]
0
; zzf
()
∫
γ
π
= dzzf
i2
1
.
Тогда для правильной или устранимой особой точки
0
z имеем всегда Выч
(
)
[
]
0
; zzf 0
=
. Обратное, вообще говоря, неверно,
так как в случае полюса или существенно особой точки
0
z может оказаться 0
1
=
−
C .
3
0
. П р и м е р 1. Найти Выч
0;
1
cos
2
z
z
.
Р е ш е н и е. Используем разложение (2.5.3), взяв в качестве аргумента
2
1
z
:
()
()
,...
!2
1
1...
!4
1
!2
1
1
1
cos
4842
+−+−+−=
n
n
znzzz
тогда в окрестности точки
0
0
=z
()
()
...
!2
1
1...
!4
1
!2
11
cos
14732
+−+−+−=
−n
n
znzz
z
z
z
Теперь мы видим, что
0
z – существенно особая точка данной функции, но член, содержащий
z
1
(случай 1
−
=
n ) в ее разло-
жении отсутствует, т.е.
0
1
=
−
C . Значит, искомый вычет равен нулю.
П р и м е р 2. Найти Выч
+
i
iz
;
1
.
Р е ш е н и е. Так как в точке
iz =
0
функция
()
iz
zf
+
=
1
– аналитична, (
()
i
if
2
1
=
и в круге 2<− iz не содержится
особых точек для
()
zf ; читателю рекомендуется сделать рисунок), то искомый вычет равен нулю.
4
0
. Пусть Γ – замкнутый контур, гладкий или кусочно-гладкий, обходимый против часовой стрелки и ограничивающий
односвязную область
D , а функция
()
zf однозначна и аналитична на
Γ
, а также в области D за исключением n изолирован-
ных особых точек
n
zzz ...,,,
21
. Следующий результат называется основной теоремой о вычетах.
Т е о р е м а. Имеет место равенство:
()
[]
∑
∫
=
Γ
π=
n
k
k
zzfidzzf
1
);(Выч2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим n окружностей
(
)
nk
k
...,,2,1=γ
с центрами в особых точках
n
zzz ...,,,
21
столь ма-
лых радиусов, что каждый из полученных кругов содержит ровно одну особую точку (свой центр). Обход на каждой из них
выбирается против часовой стрелки (рис. 5.1.1). В силу теоремы Коши для составного контура имеем

Страницы