Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Выч
()
[]
(
)
() ( )
()
()
0
0
0
0
0
0
0
lim
lim
;
z
z
zz
zz
z
zzf
zz
zz
ψ
′
ϕ
=
−
ψ−ψ
ϕ
=
→
→
,
что и утверждалось.
3
0
. П р и м е р 1. Найти Выч
[
]
0;ctgz .
Р е ш е н и е. Так как
z
z
z
sin
cos
ctg =
и точка 0=z – простой полюс для zsin , причем 00cos = , то по формуле (5.2.3) име-
ем
Выч
[]
()
1
cos
cos
sin
cos
0;ctg
00
==
′
=
== zz
z
z
z
z
z
.
П р и м е р 2. Вычислить
∫
γ
π
+
dz
z
e
z
16
2
,
где γ – окружность
5=z
, обходимая против часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Так как функция
z
e
π
аналитична при всех z,
(
)
(
)
,4416
2
izizz +−=+
то
()
()()
iziz
e
zf
z
44 +−
=
π
имеет два простых полюса в круге .4,4:5
21
izizz −==≤ Мы намерены использовать основную теоремы о вычетах, по-
этому определяем (на основании (5.2.3))
Выч
()
[
]
=izf 4, Выч
()
iz
z
iz
zz
iz
e
iz
iz
e
i
iz
iz
e
4
4
4
4
4
4,
4
4
=
π
=
ππ
+
=
′
−
+
=
−
+
=
i
e
i
8
4π
=
()
;
8
4sin4cos
8
1
2
i
i
i
i
−=π+π⋅=
Выч
()
[]
=− izf 4, Выч
()
88
1
4
4
4,
4
4
4
i
e
i
iz
iz
e
i
iz
iz
e
i
zz
=−=
′
+
−
=
−
+
−
π−
ππ
.
Теперь
∫
γ
π
π=
+
idz
z
e
z
2
16
2
(Выч
(
)
[]
izf 4, + Выч
(
)
[
]
=
−
)4, izf 0
88
2 =
+−π
ii
i
.
4
0
. Рассуждения, использовавшие в п. 1
0
, можно применить и для нахождения вычета функции
()
zf , аналитичной в окре-
стности точки
0
z , относительно полюса n-го порядка
0
zz
=
. В окрестности этой точки
()
()
()
() ()
()
z
zz
C
zz
C
zz
C
zz
C
zf
n
n
n
n
ϕ+
−
+
−
++
−
+
−
=
−−
−
−−
−
0
1
2
0
2
1
0
1
0
... ,
где сумма
()
zϕ правильной части ряда Лорана является аналитической в точке
0
z . Умножив обе части последнего равенства
на
()
n
zz
0
− , имеем
(
)()
()
(
)
(
)
+−++−+=−
−
−−−−
2
02010
...
n
nn
n
zzCzzCCzfzz
(
)()()
.
0
1
01
nn
zzzzzC −⋅ϕ+−+
−
−
(5.2.5)
При
0
zz ≠ в указанной окрестности точки
0
z равны между собой и производные обеих частей равенства:
()()
(
)
()
()( )
()( ) ()( )
()
.1
2...
0
2
01
3
0210
′
−ϕ+−−+
+−−++=
′
−
−
−
−
−−−
nn
n
n
n
zzzzznC
zznCCzfzz

Страницы