Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(направление обхода контура – против часовой стрелки) называется логарифмическим вычетом функции
(
)
zf относительно
контура L; название объясняется тем, что подынтегральная функция в (5.2.8) есть производная от
()
.Ln zf
Докажем следующее утверждение. Если точка a – нуль кратности k функции
(
)
zf , то a – простой полюс функции
()
()
zf
zf
′
и Выч
()
()
ka
zf
zf
=
′
,
.
Во-первых, по определению нуля кратности k имеем
(
)
zf в виде
(
)
(
)
(
)()
,0, ≠φφ−= azazzf
k
а поэтому
(
)
()
()
(
)
(
)
(
)
()()
(
)
(
)
(
)
(
)
,
/
1
az
zzazk
zaz
zazzazk
zf
zf
k
kk
−
φφ
′
−+
=
φ−
φ
′
−+φ−
=
′
−
при этом значение числителя последней дроби в точке a есть число k. По формуле (5.2.3) вычисления вычета относительно
простого полюса имеем значение Выч
()
()
′
a
zf
zf
,
равным
1
k
,что и утверждалось.
Если теперь интеграл (5.2.8) представить по основной теореме о вычетах, то он окажется равным сумме (состоящей из n
слагаемых) значений всех
i
k , где
i
k есть кратность соответствующего нуля
i
zz
=
функции
()
....,,1; nizf =
Итак, число нулей N функции
()
zf внутри контура L (с учетом их кратности) есть логарифмический вычет функции
относительно этого контура.
7
0
. Полученный в предыдущем пункте результат
()
∫
=
π
L
Nzfd
i
Ln
2
1
может быть записан в виде
() ()
()
() ()
.Arqln
2
1
Arqln
2
1
+
π
=+
π
=
∫∫∫
L
L
L
zfdizfd
i
zfizfd
i
N
(5.2.9)
Первый из слагаемых интегралов (5.2.9) равен нулю (интеграл от дифференциала однозначной действительнозначной функ-
ции по замкнутому контуру), а второй – есть приращение (полная вариация) аргумента Arq f
(z) при обходе точкой z замкну-
того круга L.
Итак, доказан так называемый принцип аргумента: число нулей аналитической функции
()
zf внутри контура L (с уче-
том их кратности) равно деленному на
π2 приращению Arq f (z) при обходе точкой z контура L против часовой стрелки.
5.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1
0
. Рассмотрим функцию
()
zf , которая однозначна и аналитична в верхней полуплоскости 0Im >z за исключением
конечного числа изолированных особых точек. Пусть также существуют положительные числа M и
0
R , такие что вне круга
радиуса
0
R с центром в начале координат, т.е. при
0
Rz > , имеет место оценка
()
2
z
M
zf <
. (5.3.1)
Обозначим через
R
Γ полуокружность Rz = ,
0Im >z
в верхней полуплоскости (рис. 5.3.1).
Тогда при сформулированных условиях имеет место равенство
(
)
∫
Γ
∞→
=
R
dzzf
R
0lim . (5.3.2)
Действительно, так как
()
2
R
M
zf <
при
Rz =
, ,
0
RR > в силу соотношения (5.3.1), то
()
R
M
R
R
M
dzzf
R
π
=π⋅≤
∫
Γ
2
, (5.3.3)
где Rπ – длина рассматриваемой полуокружности.
При
+∞→R правая часть (5.3.3) стремится к нулю, а тогда стремится к нулю и модуль интеграла, содержащегося в
(5.3.2). Соотношение (5.3.2) доказано.
2
0
. Условию (5.3.1) удовлетворяет всякая функция
(
)
zf , имеющая разложение в ряд Лорана вида
()
...
3
3
2
2
++=
−
−
z
C
z
C
zf
.
Действительно, в этом случае

Страницы