Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
()
2
3
2
2
...
1
z
z
z
C
C
z
zf
ϕ
=
++=
−
−
, (5.3.4)
где
()
zϕ – сумма ряда, записанного в скобках.
Заметим (опуская аккуратное доказательство), что
(
)
2
lim
−
∞→
=
ϕ
Cz
z
поэтому
()
zϕ остается ограниченной при
∞→
z
. Следовательно, из соотношения (5.3.4) будет вытекать оценка (5.3.1), а
тогда для рассматриваемых в п. 2
0
функций справедливо утверждение (5.3.2).
3
0
. Утверждение (5.3.2) справедливо также для рациональных функций вида
()
(
)
()
zQ
zP
zf
n
m
= ,
где
()
zP
m
и
()
zQ
n
– многочлены соответствующих степеней, 2
−
≤
nm и
(
)
zQ
n
не имеет нулей на действительной оси.
В самом деле, все полюсы функции
()
zf – это нули многочлена
(
)
zQ
n
, и, следовательно, в верхней полуплоскости их
конечное число. Далее, многочлен
()
zPz
m
2
имеет степень 2
+
m , т.е. степень n знаменателя дроби остается большей или
равной степени
()
zPz
m
2
.
Тогда, вычисляя предел (при
∞→
z
) дроби
(
)
()
zQ
zPz
n
m
2
(путем деления на старшую степень
n
z
каждого члена числителя
и знаменателя), получаем некоторое число. Следовательно, эта дробь остается ограниченной при
∞→
z
:
()
()
,
2
M
zQ
zPz
n
m
≤ откуда
()
(
)
()
2
z
M
zQ
zP
zf
n
m
≤=
.
Условие (5.3.1) выполнено, т.е. соотношение (5.3.2) оказывается справедливым также для рассматриваемых рациональ-
ных функций.
4
0
. Несобственный интеграл
()
∫
∞
∞−
dxxf определим в виде предела
()
∫
−
+∞→
R
R
R
dxxflim , (5.3.5)
если указанный предел существует (такое определение называется определением в смысле главного значения).
Т е о р е м а. Пусть
N
zzz ...,,,
21
– изолированные особые точки функции
(
)
zf , расположенные в верхней полуплос-
кости, при этом
()
zf удовлетворяет условиям п. 1
0
и не имеет особых точек на действительной оси. Тогда несобственный
интеграл (5.3.5) существует и
()
[]
∫
∑
∞
∞−
=
π=
N
k
k
zzfidxxf
1
;)(Выч2
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим полуокружность
R
Γ
столь большого радиуса R, что все особые точки
N
zzz ...,,,
21
расположены внутри
R
Γ
; пусть
0
RR > (см. рис. 5.3.1). Пусть
R
L – контур, состоящий из отрезка
[
]
RR,
−
оси
абсцисс и полуокружности
R
Γ ; обход на
R
L выбираем в направлении против часовой стрелки. Тогда
() () ()
∫∫∫
=+
Γ−
RR
L
R
R
dzzfdzzfdzzf ,
при этом на отрезке
[]
RR,− имеем ixz ⋅+= 0 и dxdz
=
, т.е.
() () ()
∫∫∫
+−=
Γ−
RR
L
R
R
dzzfdzzfdxxf . (5.3.6)

Страницы