Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Дифференцируя второй, третий, ..., и наконец,
(
)
1
−
n раз, получаем, что коэффициент перед
1−
C становится равным
()( ) ()
!112...21 −=⋅−− nnn , а остальные члены, содержавшие множители
(
)
2...,,2,1,
0
−=− nkzz
k
в равенстве (5.2.5), обра-
тятся в ноль, так как
1−< nk . Следовательно,
()()
(
)
(
)
() ()( )
()
(
)
1
01
1
0
!10
−
−
−
−ϕ+−+=−
n
n
n
n
zzzCnzfzz . (5.2.6)
Последнее слагаемое содержит множитель
()
n
zz
0
− , поэтому дифференцирование
(
)
1
−
n раз члена
()( )
n
zzz
0
−ϕ превратит его
в сумму произведений, каждое из которых содержит множитель
(
)
....,,1,
0
nkzz
k
=− Если теперь перейти к пределу при
0
zz → в (5.2.6), то, согласно последнему рассуждению, имеем
()( )
(
)
(
)
,0lim
1
0
0
=−⋅ϕ
−
→
n
n
zz
zzz
а тогда из равенства (5.2.6) получаем
()()
()
(
)
()
1
1
0
!1lim
0
−
−
→
−=− Cnzfzz
n
n
zz
,
откуда
Выч
()
[]
()
()()
()
()
1
00
0
lim
!1
1
;
−
→
−
−
=
n
n
zz
zfzz
n
zzf . (5.2.7)
Формулу (5.2.7) можно рассматривать как обобщение (5.2.1) на случай полюса n-го порядка, ...,3,2=n
5
0
. П р и м е р. Найти Выч
−
−
−
1;
1
3
2
z
iz
.
Р е ш е н и е. Имеем
()
(
)
()()
33
3
11 +−
−
=
zz
iz
zf
,
поэтому точка
1
0
−=z является полюсом 3-го порядка. По формуле (5.2.7) получаем при 3=n :
Выч
()
()
()
()()
=
″
+−
−
⋅+
−
=
−
−
−
−→
33
3
3
1
3
2
11
1lim
!13
1
1,
1
zz
iz
z
z
iz
z
()
()
()
()
=
′
′
−
−
=
″
−
−
=
−→−→
3
3
1
3
3
1
1
lim
2
1
1
lim
2
1
z
iz
z
iz
zz
()() ()()
()
=
′
−
−−−−−
=
−→
6
2332
1
1
1313
lim
2
1
z
zizziz
z
()()( )
()
=
′
−
+−−−−
=
−→
6
22
1
1
11
lim
2
3
z
izzziz
z
() ()
()
() ()() ()()
()
=
−
−−−−−−
=
′
−
−−
=
−→−→
8
324
1
4
2
1
1
1412
lim
2
13
1
lim
2
13
z
zizzizi
z
izi
zz
()
()
(
)
()
()
(
)
i
ii
i
z
iziz
i
z
8
3
32
21
13
1
21
lim13
5
1
−=
−
⋅+−
⋅−=
−
+−−−
−=
−→
.
6
0
. Рассмотрим функцию
()
zf , аналитическую в односвязной области D и простой замкнутый контур L, гладкий или
кусочно-гладкий, целиком расположенный в D, в каждой точке которого
(
)
zf отлична от нуля. При этих условиях функция
()
zf может иметь внутри лишь конечное число нулей (как оказывается, в противном случае предельная точка множества
нулей тогда бы оказалась на контуре L, что противоречило бы условию
(
)
0
≠
zf на L). Интеграл вида
()
()
∫
′
π
L
dz
zf
zf
i2
1
(5.2.8)

Страницы