Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ()
∑
∫∫
=
γΓ
=
n
k
k
dzzfdzzf
1
или
() ()
[]
∑∑
∫∫
==
γΓ
π=
π
π=
n
k
k
n
k
zzfidzzf
i
idzzf
k
11
);(Выч2
2
1
2 ,
что и утверждалось.
Рис. 5.1.1
5.2. ВЫЧЕТ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛЮСА
1
0
. Пусть
0
zz = – простой полюс. Докажем, что
Выч
(
)
[
]
()()
zfzzzzf
zz
00
0
lim; −
=
→
. (5.2.1)
Так как в окрестности точки
0
z
() ()
z
zz
C
zf ϕ+
−
=
−
0
1
,
где
()
zϕ – сумма степенного ряда, являющегося правильной частью ряда Лорана, то
Выч
(
)
[
]
(
)()( )
(
)
zzzzfzzCzzf
ϕ
−−
−
=
=
− 0010
; . (5.2.2)
При этом предел
()
zϕ при
0
zz → существует (именно, он равен
(
)
0
z
ϕ
), так как
(
)
z
ϕ
как сумма степенного ряда аналитич-
на, а значит и непрерывна в точке
0
z . Но тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
()() ()
.0lim
limlimlim
00
0011
0
000
zzfzz
zzzzfzzCC
zz
zzzzzz
ϕ⋅−−=
=ϕ−−−==
→
→→
−
→
−
Согласно (5.2.2) теперь получаем формулу (5.2.1).
2
0
. Если
()
()
()
z
z
zf
ψ
ϕ
=
, где
(
)
zϕ и
()
zψ аналитичны в точке
0
z ,
(
)
0
0
≠
ϕ
z и
0
z является нулем первого порядка для
()
zψ , то имеет место соотношение
Выч
()
[]
()
()
0
0
0
,
z
z
zzf
ψ
′
ϕ
=
. (5.2.3)
Действительно, согласно формуле (5.2.1)
Выч
()
[]
()
()
()
(
)
() ( )
0
0
00
00
limlim,
zz
zz
z
z
z
zzzzf
zzzz
−
ψ−ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
−=
→→
, (5.2.4)
поскольку
()
0
0
=ψ z . Предел числителя дроби в (5.2.4) равен
(
)
0
z
ϕ
, предел знаменателя
(
)
(
)
()
0
0
0
0
lim z
zz
zz
zz
ψ
′
=
−
ψ−ψ
→
по определению производной. Следовательно,

Страницы