ВУЗ:
Составители:
В случае б) применяем равенство (5.3.8) для нечетной
()
22
x
a
x
xf
+
=
. Вычисляя, как и выше, вычет функции
(
)
zfe
ziµ
относительно
aiz =
1
, получаем результат б). Читателю рекомендуется сделать выкладки подробнее.
З а м е ч а н и е. Мы не останавливаемся на обосновании применимости формул (5.3.7) и (5.3.8) для рассматриваемых
здесь функций
()
zf .
2
0
. Вычислим интеграл
()
∫
∞
≠
+
0
2
22
0; a
ax
dx
.
Имеем рациональную функцию
()
()
2
22
1
az
zf
+
=
.
Степень числителя 0=m , знаменатель имеет степень 4
=
n , так что 2
−
≤
nm . При этом
()
()()
22
1
iaziaz
zf
+−
=
;
ее полюсы второго порядка iaz =
1
и iaz −=
2
не лежат на оси OX. Значит,
(
)
zf удовлетворяет условиям п. 3
0
параграфа 5.3,
и можно применить теорему пункта 4
0
того же параграфа. В верхней полуплоскости расположен полюс iaz
=
1
(для опреде-
ленности считаем
0>a ); тогда
()
∫
∞
∞−
⋅π=
+
i
ax
dx
2
2
22
Выч
()
+
ia
az
;
1
2
22
.
Указанный вычет найдем по формуле (5.2.7);
2=n . Имеем:
Выч
()()
()
()
()()
=
′
+−
⋅−
−
=
+−
→
22
2
22
1
lim
!12
1
;
1
iaziaz
iazia
iaziaz
iaz
() ()
.
4
1
8
22
lim
1
lim
33332
i
aai
iaziaz
iaziaz
−=−=
+
−
=
′
+
=
→→
Теперь, в силу четности
()
xf :
() ()
∫∫
∞∞
∞−
π
=
−⋅π=
+
=
+
0
332
22
2
22
44
1
2
1
a
i
a
i
ax
dx
ax
dx
.
3
0
. Получим формулу для вычисления интегралов вида
()
∫
π2
0
sin,cos dtttR ,
где
()
vuR , – рациональная функция действительных переменных u, v, непрерывная как функция (сложная) от t на
[
]
π
2,0 .
Докажем, что
()
[]
∑
∫
=
π
π=
N
k
k
zzfdtttR
1
2
0
;)(Выч2sin,cos , (5.4.1)
где
k
z – все полюсы функции
()
−
+=
z
z
iz
zR
z
zf
1
2
1
;
1
2
11
(5.4.2)
внутри окружности 1=z . Имеем:
+=
+
=
−
z
z
ee
t
itit
1
2
1
2
cos
;
,
1
2
1
2
sin
−=
−
=
−
z
z
ii
ee
t
itit
где
it
ez = – точки окружности 1=z , обходимой в направлении против часовой стрелки.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
