Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Г л а в а 6
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
6.1. ОРИГИНАЛ
1
0
. Функция
()
tf называется кусочно-непрерывной на интервале
[
)
∞
,0 , если она либо непрерывна на
[
)
∞
,0 , либо име-
ет точки разрыва только первого рода, причем в каждом конечном интервале число точек разрыва – конечно.
Рассмотрение
()
tf именно при 0≥t связано с тем, что при изучении многих физических процессов роль переменной t
играет время, и удобно предполагать, что процесс начинается в момент
0
=
t .
2
0
. Функция
()
tf называется оригиналом (начальной функцией), если:
а) она кусочно непрерывна на
[
)
∞,0 ;
б)
()
0=tf при 0<t ;
в) существуют действительные числа
α
и 0>M , такие что
(
)
[
)
∞∈≤
α
,0, teMtf
t
.
Как правило, сами значения функции f действительного переменного t мы считаем действительными числами; наи-
меньшее из всех возможных значений α , для которых выполнено условие в), называется показателем роста оригинала.
Схематический график оригинала показан на рис. 6.1.1; изображен случай
0>
α
.
Обычно, функции, встречающиеся при моделировании физических процессов, удовлетворяют условиям а) – в); при
рассмотрении
процесса во времени (т.е. когда
0≥t ) совершенно не важно, как доопределить
(
)
tf при 0<t ; всегда можно ее считать в
этом случае равной нулю. Условию в) удовлетворяют все ограниченные функции, например,
tsin и
t
cos – достаточно вы-
брать
0=α и 1=
M
. Известно также, что степенная функция
(
)
0>= sty
s
растет медленнее
t
ey
α
= , для каждого 0>
α
, а
тогда при
1=α (для достаточно большого M) имеет место оценка в).
Существуют, конечно, и функции, не удовлетворяющие условию в), например,
2
t
ey =
и др.
3
0
. Важным примером оригинала служит так называемая единичная функция:
()
≥
<
=η
,0если,1
;0если,0
t
t
t
график которой изображен на рис. 6.1.2; условие в) выполнено при 0
=
α
и 1
=
M
. Более общий случай – это "смещенная"
единичная функция (рис. 6.1.3):
()
0const
;если,1
,если,0
>=
≥
<
=−η a
at
at
at
.
4
0
. Обозначения упомянутых выше функций ty sin
=
, ty cos
=
,
k
ty = и других здесь и в дальнейшем (в соответствии с
условием б)) будут употребляться в случае функций вида, соответственно:
(
)
(
)
(
)
...,,cos,sin
k
tttttt ηηη
Единичную функцию удобно употреблять для записи в виде одного аналитического выражения разрывного оригинала.
Так, например, если
()
(
)
()
≥
<
=
,при
;при
2
1
attf
attf
tf
то в момент времени a
t
= следует "выключить" функцию
(
)
tf
1
и "включить"
(
)
tf
2
. "Выключение" достигается вычитанием
()
tf
1
из
()
tf
1
в момент at ≥ , т.е. вычитанием
()
(
)
tfat
1
−η , а "включение"
(
)
tf
2
ее прибавлением к полученному выражению
() ( ) ()
tfattf
11
−η− с этого же момента a
t
= , т.е. прибавлением
(
)
(
)
tfat
2
−
. Следовательно,

Страницы