Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
(
)() ( )
(
)
tfattfattftf
211
−η+−
η
−
=
. (6.1.1)
Аналогичны рассуждения и в общем случае (см., например, рис. 6.1.1): если
()
(
)
()
()
<≤
<≤
<
=
...
,при
;при
;при
323
212
11
atatf
atatf
attf
tf
то
() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
()()()()
....
3222
21111
−−η+−η−
−−η+−η−=
tfattfat
tfattfattftf
5
0
. Идея так называемого операционного исчисления, элементы которого мы рассматриваем в этой и последующей гла-
ве, состоит в рассмотрении не самих оригиналов, а их некоторых "образов", получаемых путем "преобразования Лапласа"
(определения будут даны ниже). Переход к таким образам облегчает как математическое моделирование некоторых процес-
сов, так и решение математических задач.
6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
1
0
. Каждому оригиналу
(
)
tff = поставим в соответствие функцию комплексного переменного p вида
() ()
dtetfpF
pt−
∞
∫
=
0
. (6.2.1)
Интеграл (6.2.1) называется изображением оригинала
(
)
tf или интегралом Лапласа, а само соответствие F вида
(
)
(
)
pFtf a ,
определенное на классе всех оригиналов, – преобразованием Лапласа. Употребляют также обозначение
() ( )
ptf
•
•
= ,
() ()()
tfLtf
•
•
= и др.
2
0
. Сформулированное определение будет корректным, если мы докажем существование (сходимость) несобственного
интеграла (6.2.1) для всякого оригинала
()
tf в некоторой области значений p. Для этого установим, что
()
∞<
∫
∞
−
0
dtetf
pt
. (6.2.2)
Как и в случае функций с действительными значениями, отсюда будет следовать сходимость несобственного интеграла
(6.2.1), которая в этом случае называется абсолютной сходимостью. Именно, справедлива.
Т е о р е м а. Пусть
()
tf – оригинал. Тогда интеграл Лапласа (6.2.1) абсолютно сходится при всех значениях p, удовле-
творяющих условию
α>pRe , где
α
– показатель роста
(
)
tf . В указанной области
(
)
pF аналитична.
В случае
0>α полуплоскость тех p, для которых
α
>pRe , изображена на рис. 6.2.1.
Рис. 6.2.1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим сходимость несобственного интеграла (6.2.2). Если ρ+σ= ip , то
(
)
titee
tpt
ρ+ρ=
σ−−
sincos ,
тогда
ttpt
ettee
σ−σ−−
=ρ+ρ=
22
sincos ,
т.е.

Страницы