Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что
(
)
pF и
(
)
pG существуют в полуплоскости
α
>pRe , где
{}
21
,max αα=α , а
1
α и
2
α – соответственно, показатели роста оригиналов
(
)
tf и
(
)
tg . В указанной полуплоскости
() () () ()( ) () ()
∫∫∫
∞∞
−−−
∞
•
•
µ+λ=µ+λ=µ+λ
000
dtetgdtetfdtetgtftgtf
ptptpt
,
а это и есть утверждение теоремы.
2
0
. Теорема подобия. Для любого постоянного 0>
λ
справедливо соотношение
()
λλ
=λ
•
•
p
Ftf
1
.
Суть утверждения состоит в том, что умножение аргумента t оригинала на положительное число λ приводит к делению
аргумента p изображения и самого
()
pF на то же число
λ
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заменяя в несобственном интеграле по
[
)
∞
∈
,0t переменную по формуле t
λ
=
τ
, так что
[
)
∞∈τ ,0 и τ
λ
= ddt
1
, имеем:
() () ()
()
,
11
1
0
0
1
0
λλ
=ττ
λ
=
=τ
λ
τ=λ=λ
∫
∫∫
∞
τ
λ
−
∞
τ
λ
⋅−
∞
−
•
•
p
Fdef
defdtetftf
p
p
pt
что и утверждалось.
3
0
. Теорема смещения (затухания). Для любого действительного или комплексного числа a имеет место соотношение
() ( )
apFtfe
at
−=
•
•
.
Суть утверждения состоит в том, что умножение оригинала на функцию
at
e приводит к смещению на величину a аргу-
мента p изображения
()
pF . Если a – действительное число и 0
<
a , то термин "затухание" означает убывание (с течением
времени) множителя
at
e .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем
() () ()
()
()
∫∫
∞
−−
∞
−
•
•
−===
00
,apFdtetfdtetfetfe
tapptatat
что и утверждалось.
Из доказательства теоремы следует, что само существование
(
)
apF
−
имеет место, если
()
α>− apRe , где
α
– показа-
тель роста
()
tf .
4
0
. Теорема запаздывания. Для любого постоянного 0>
τ
имеет место соотношение
()() ()
pFetft
pτ−
•
•
=τ−τ−η
.
Суть утверждения состоит в том, что начало процесса в момент
τ
(в сравнении с процессом, начинающимся в момент
0=t и описываемым оригиналом
()
tf ), т.е. его запаздывание на время
τ
, влечет за собой умножение изображения на
τ− p
e .
Левую часть формулы часто записывают также в виде
(
)
τ
−
tf .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем
()() ()() ()()
,
0
dtetftdtetfttft
ptpt
∫∫
∞
τ
−
∞
−
•
•
τ−τ−η=τ−τ−η=τ−τ−η
так как при τ<
t
значения подынтегральной функции равны нулю. Теперь заменяем переменную по формуле
τ
−
=
t
; тогда
τ+=
t
и dsdt = . Следовательно,
()() ()()
()
() ( )
pFedsesfedsesfstft
ppspsp τ−
∞
−
∞
τ−τ+−
•
•
==η=τ−τ−η
∫∫
00
;
в последней цепочке равенств мы учли, что
()
1=η s при 0≥s . Теорема доказана.
Рассмотрим, далее, изображения основных элементарных функций.
5
0
. Единичная функция имеет следующее изображение:

Страницы