Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Р е ш е н и е. Разрывный оригинал
()
tϕ (см. рис. 6.3.1) можно в силу рассуждений, приведенных в п. 4
0
параграфа 6.1,
записать в виде
(
)
(
)
(
)
τ
−
η
−
η
=
ϕ
ttt .
Рис. 6.3.1
Тогда на основании соотношений (6.3.1) и (6.3.2) и теоремы линейности имеем
()
(
)
.1
111
pp
e
p
e
pp
t
τ−τ−
−=−=ϕ
6.4. ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА И
ИЗОБРАЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1
0
. Гамма-функцией Эйлера называется функция вида
()
0,
0
1
>=Γ
−
∞
−
∫
xdtetx
tx
. (6.4.1)
Докажем сходимость интеграла (6.4.1). Положим сначала 1≥x , тогда функция
(
)
tx
ettf
−−
=
1
непрерывна на
[
)
∞
,0 и
tx
eMt
α−
≤
1
при каждом 0>α с некоторой постоянной 0>M (см. п. 2
0
параграфа 6.1). Взяв
2
1
=α
, имеем мажорантным для
(6.4.1) несобственный интеграл:
()
MeMdteeM
t
t
t
22
0
2
0
2
1
=−=
∞
−
−
∞
∫
.
Следовательно, по известной теореме о сравнении несобственных интегралов (применимой здесь, так как
(
)
0≥tf ) сходя-
щимся является интеграл (6.4.1),
1≥x .
Если
10 << x , то ∞→
−1x
t при 0+→t , т.е.
(
)
tf имеет разрыв второго рода в точке 0=t . Записав
()
dtetdtetx
txtx
∫∫
∞
−−−−
+=Γ
1
1
1
0
1
, (6.4.2)
имеем второй интеграл сходящимся, если применить только что приведенные рассуждения (
()
tf является непрерывной при
[
)
∞+∈ ,1t ).
В первом интеграле в (6.4.2)
1
0
=≤
−
ee
t
, тогда
()
10
1
0
1
1
0
1
1
0
1
<<∞<==≤
∫∫
−−−
x
xx
t
dttdtet
x
xtx
.
Итак, оба слагаемых интеграла в (6.4.2) являются сходящимися, чем и доказано существование
()
xΓ при 10
<
<
x .
Окончательно имеем: интеграл (6.4.1) – сходящийся при всех
0>x .
2
0
. Докажем следующее важное свойство гамма функций:
(
)
(
)
0,1 >
Γ
=
+
Γ
xxxx . (6.4.3)
Заметим, прежде всего, что
0lim =
∞→
t
x
t
e
t
; (6.4.4)
это свойство (рост степенной функции – менее быстрый, чем рост показательный) упоминалось в п. 2
0
параграфа 6.1; его
аккуратное доказательство состоит в последовательном применении правила Лопиталя n раз, где n – целая часть числа
1
+
x .
Поэтому, на основании формулы интегрирования по частям, имеем
() ()
xxdtetxetdtetx
txtxtx
Γ+=+−==+Γ
−
∞
−
∞
∞
−−
∫∫
01
0
1
0
0
,
что и утверждалось.

Страницы