Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
()
1
1
+
•
•
−
+Γ
=
s
sat
ap
s
te
,
причем, согласно замечанию в п. 5
0
, результат справедлив при всех 1
−
>s . В частности,
()
1
!
+
•
•
−
=
n
nat
ap
n
te
.
7
0
. П р и м е р. Найти изображение оригинала
()
∞<≤
<≤
=
.2если,3
;20если,
te
tt
tf
t
Р е ш е н и е. Запишем выражение для оригинала в виде (6.1.1):
() ( )
(
)
()()
[]
()
()
()() () ()
;232222
23222
322
22
22
−
+−
−η+−η−−−η−=
=−η++−−η−=
=⋅−η+−η−=
t
t
t
etetttt
etttt
etttttf
используя теорему запаздывания и соотношения (6.4.6), (6.3.3), получим
()
1
1
3
1
2
11
222
2
2
2
−
+−−=
−−−
•
•
p
ee
p
e
p
e
p
tf
ppp
.
6.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ОРИГИНАЛОВ
1
0
. Пусть
()
tf – оригинал и
() ( )
pFtf
•
•
=
Теорема дифференцирования оригинала. Имеет место соотношение
() ( ) ( )
0fpFptf −=
′
•
•
. (6.5.1)
В частности, если
()
00 =f , то
() ( )
pFptf
•
•
=
′
,
т.е. дифференцирование оригинала приводит к умножению его изображения на параметр p.
Д о к а з а т е л ь с т в о. С помощью интегрирования по частям получаем:
() () () ()
=+=
′
=
′
−
∞
∞
−−
∞
•
•
∫∫
dtetfpetfdtetftf
ptptpt
0
0
0
() () ( )
.lim0 pFpetff
pt
t
+
+−=
−
∞→
(6.5.2)
Осталось доказать, что
(
)
0lim =
−
∞→
pt
t
etf . (6.5.3)
Если α – показатель роста
(
)
tf и, как обычно,
α
>
=
σ
pRe , то (см. рассуждения в п. 2
0
параграфа 6.2)
()
(
)
0→=≤
α−σ−σ−α− tttpt
eMeeMetf при
∞
→
t
,
чем установлено равенство (6.5.3), а значит (в силу (6.5.2)) и утверждение (6.5.1).
2
0
. Найдем изображение второй производной оригинала, используя уже найденное соотношение (6.5.1):
() ()() ()()()()
() ()( ) () ( ) () ()
.0000
0
2
ffppFpffpFpp
ftfLptftf
′
−−=
′
−−=
=
′
−
′
=
′
′
=
′′
•
•
Итак, если
()
tf
′
является оригиналом (удовлетворяет условиям а) – в) п. 2
0
параграфа 6.1), то
() ( ) () ()
.00
2
ffppFptf
′
−−=
′′
•
•
(6.5.4)
Аналогичны рассуждения для получения изображений третьей и последующих производных; так, если
()
tf ,
(
)
tf
,
(
)
tf
–
оригиналы, то

Страницы