ВУЗ:
Составители:
Рассуждая подобным образом и далее, приходим к утверждению следствия.
2
0
. Рассмотрим вопрос о том, что произойдет с оригиналом
(
)
tf если изображение
()
pF проинтегрировать. При этом
будем предполагать, что
()
t
tf
удовлетворяет условием а) – в) п. 2
0
параграфа 6.1 и что интеграл
()
∫
∞
p
dqqF – сходящийся.
Следующее утверждение приведем без доказательства.
Т е о р е м а 2. Имеет место соотношение
()
()
t
tf
dqqF
p
•
•
∞
=
∫
.
3
0
. П р и м е р. Найти изображение оригинала
t
tsin
.
Р е ш е н и е. Поскольку
1
1
sin
2
+
=
•
•
p
t
, то деление оригинала на t приводит к интегрированию изображения (теорема 2):
∫
∞
•
•
+
=
p
dp
p
t
t
1
1sin
2
, т.е. ,tgarc
2
tgarc
sin
pp
t
t
p
−
π
==
∞
•
•
но последнее выражение равно pctgarc . Итак,
p
t
t
ctgarc
sin
•
•
= .
З а м е ч а н и е. Данная функция имеет разрыв при
0
=
t . Чтобы убедиться в ее ограниченности в любой окрестности
этой точки, достаточно найти соответствующий предел:
.1
sin
lim
0
=
+→
t
t
t
В свою очередь, ограниченность данной функции в окрестности 0
=
t означает выполнимость для нее требования в) п. 2
0
параграфа 6.1, которое использовалось в теореме 2.
6.7. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6
1. Найти изображения оригиналов:
а)
t
e
t3sin
; б)
4
5
3
t
; в)
2
tt − ; г)
()
4
2−t .
2. Найти изображение оригиналов:
а) tt 2sinch ⋅ ; б) tt 7sh .
Указание: выразить (на основании определения) гиперболические функции через показательные.
3. Найти изображение оригиналов:
а)
8
cos
2
t
; б) te
t
3sin
2−
; в)
t
e
t
5
4
cos
.
Указание: понизить степени тригонометрических функций.
4. Найти изображение оригиналов:
а) ttcos8sin4 ; б)
2
5
cos
2
cos
tt
; в) ttt 4sin3sinch ⋅⋅ .
Указание: преобразовать в сумму (разность) произведение тригонометрических функций.
5. Найти изображение оригиналов:
а)
()
≥
<≤−
<−η
=
.5при
;54при1
;4при2
)(
4
2
te
tt
tt
tf
t
б)
()
≥
<≤−
<≤−
=
.3,sh
;31,
;10,
2
2
tt
ttt
ttt
tf
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
