Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

и применим теперь формулы (6.3.4), (6.3.6) параграфа 6.3. Согласно теореме смещения, аргумент
2
a
p +
мог возникнуть за
счет умножения соответствующего аргумента на
t
a
e
2
−
, т.е.
()
tepF
t
a
ω
ω
=
−
•
•
sin
1
2
или
()
tepF
t
a
ω
ω
=
−
•
•
sh
1
2
соответственно знаку "+" или "–" перед
2
ω .
3
0
. Простейшая дробь
()
bapp
dcp
pF
++
+
=
2
()
0
≠
c может быть преобразована к виду
()
.
2
22
2
2
2
2
2
ω±
+
+−
+
=
ω±
+
+
=
a
p
d
aca
pc
a
p
dcp
pF
Обозначив
2
ac
dh −=
, получим
()
.
22
2
2
2
2
2
ω±
+
ω
⋅
ω
+
ω±
+
+
=
a
p
h
a
p
a
p
cpF
В случае знака "+" перед
2
ω , согласно теореме смещения, получим
()
te
h
tcepF
t
a
t
a
ω
ω
+ω=
−−
•
•
sincos
22
.
В случае же знака "–" тригонометрические функции заменяются на соответствующие гиперболические.
4
0
. П р и м е р.
()
.
283
32
2
pp
p
pF
−+
+
= Найти оригинал
(
)
tf .
Р е ш е н и е. Приведем дробь к виду, рассмотренному выше:
()
()
()
()
() ()
.
2
11
2
2
11
2
11
1
4
2
11
2
2
2
3
2
11
2
2623
2
1
2
11
2
23
2
1
2
3
4
23
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
−−
⋅⋅−
−−
−
⋅−=
−−
++−
−=
=
−−
+
−=
−−
+
−=
pp
p
p
p
p
p
pp
p
pF
С учетом формул (6.3.7), (6.3.6) параграфа 6.3. и теоремы смещения получаем:
()
tetepF
tt
2
11
sh
11
24
2
11
ch
2
3
22
−−=
•
•
.
5
0
. Если
()
pF – правильная рациональная дробь, то путем ее разложения в сумму простейших дробей задачу о восста-
новлении оригинала можно свести к задачам типа рассмотренных в пп. 2
0
, 3
0
.
7.3. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
1
0
. Операционный метод (преобразование Лапласа) может быть применен к нахождению частного решения линейного
обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и начальными условиями в точке "0". Идея
состоит в том, что считая искомое решение оригиналом
(
)
tyy
=
, мы применяем преобразование Лапласа к обеим частям
уравнения. В результате этого уравнения становится алгебраическим относительно изображения
()
pYY = . Найдя Y, остается
вернуться к соответствующему оригиналу
()
tyy = .
2
0
. Начнем рассмотрение с уравнения первого порядка
(
)
const, =
=
+
′
atfayy , (7.3.1)

Страницы