Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Г л а в а 7
ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
7.1. ТЕОРЕМА ОБРАЩЕНИЯ
1
0
. Рассмотрим задачу, обратную нахождению интеграла Лапласа: по заданному изображению
()
pF восстановить
оригинал
()
tf . Пусть α – показатель роста оригинала (см. параграфа 6.1).
Т е о р е м а. Если в области
α>pRe функция
(
)
pF является изображением оригинала
()
tf , то
() ()
dppFe
i
tf
ix
ix
pt
∫
∞+
∞−
•
•
π
=
.
2
1
(7.1.1)
во всех точках t, где
()
tf – непрерывна. При этом интегрирование в (7.1.1) производится по произвольной вертикальной
прямой
xp =Re , где α>
x
.
Представление (7.1.1) называют формулой Меллина.
2
0
. В пункте 1
0
мы предполагали, что заданная
(
)
pF – уже является изображением некоторого оригинала. Укажем (без
доказательства) те достаточные условия, при которых заданная функция комплексного переменного действительно является
изображением:
а)
()
pF – аналитична в области α>pRe при некотором
α
;
б) в указанной области
()
0→pF (равномерно относительно parg ), если ∞→p .
в) для всех p, таких, что
α>
=
xpRe имеет место соотношение
()
∫
∞+
∞−
∞<
ix
ix
dypF
(где py Im
=
).
При сформулированных условиях
()
tf восстанавливается по формуле Меллина.
3
0
. Рассмотрим вопрос о вычислении интеграла (7.1.1), если выполнено условие
(
)
0→pF при ∞→p (см. условие
б) в п. 2
0
). Пусть
()
pF имеет лишь конечное число особых точек (скажем, n штук). Тогда вертикальную прямую xp
=
Re
можно выбрать так, что все особые точки
k
z расположены левее ее: следует выбрать x достаточно большим. Как оказывает-
ся, из основной теоремы о вычетах будет тогда следовать, что
()
∫
∑
∞+
∞−
=
π=
ix
ix
n
k
pt
idpepF
1
Выч2
(
)
[
]
,,
k
pt
zepF
где 0≥t – произвольно. Поэтому, согласно формуле Меллина,
()
∑
=
=
n
k
tf
1
Выч
()
[
]
k
pt
zepF ,
. (7.1.3)
7.2. НАХОЖДЕНИЕ ОРИГИНАЛОВ
ДЛЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1
0
. Применение формулы Меллина (ее следствия (7.1.3)) даже для табличных изображений часто приводит к довольно
сложным выкладкам. Однако, для дробно-рациональных
(
)
pF можно воспользоваться приемами достаточно элементарного
характера.
2
0
. Простейшая дробь
()
bapp
pF
++
=
2
1
.
В результате выделения полного квадрата приходим к представлению
()
,
2
1
2
2
ω±
+
=
a
p
pF
где
4
2
2
a
b −=ω±
.
Имеем
()
,
2
1
2
2
ω±
+
ω
⋅
ω
=
a
p
pF

Страницы