Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ()( ) () ( ) () () ()
.0000
23
ffpfppFpftfpLtf
′′
−
′
−−=
′′
−
′′
=
′′′
•
•
Для n-ой производной получаем соотношение:
()
() ( ) () ()
()
()
000
121 −−−
•
•
−−
′
−−=
nnnnn
ffpfppFptf K .
В случае, если начальные значения
()
tf и ее производных равны нулю, т.е.
(
)
(
)
()
()
00...00
1
===
′
=
−n
fff , (6.5.5)
то
()
()
()
()
pFptf
nn
•
•
= ;
т.е. n – кратное дифференцирование оригинала при условии (6.5.5) приводит к умножению на
n
p
его изображения.
3
0
. Рассмотрим вопрос о преобразовании Лапласа первообразной
() ()
∫
ττ=ϕ
t
dft
0
(6.5.6)
оригинала
()
tf . Прежде всего отметим, что
()
tϕ удовлетворяет всем условиям существования оригинала. Действительно,
()
0=ϕ t при 0<t (первообразная от нулевой функции равно нулю),
(
)
t
ϕ
– кусочно непрерывна вместе с
(
)
τ
f и, наконец,
()
()
tt
t
e
M
e
M
deMt
ααατ
α
≤−
α
=τ≤ϕ
∫
1
0
,
если считать 0>α (а это можно предполагать без ограничения общности, увеличив, если требуется, показатель роста).
Т е о р е м а. Если
() ( )
pFtf
•
•
= , то
() ()
∫
•
•
=ττ
t
pF
p
df
0
1
. (6.5.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
()
pΦ – изображение оригинала
(
)
t
ϕ
. Тогда
() ( ) ( )
0ϕ−Φ=ϕ
′
•
•
ppt , при этом (см. (6.5.6))
() ()
∫
=ττ=ϕ
0
0
00 df ,
т.е.
() ( )
ppt Φ=ϕ
′
•
•
. Но
() ()
tft =ϕ
′
, т.е.
() ( )
pptf Φ=
•
•
, и, одновременно с этим,
() ( )
pFtf
•
•
= . Следовательно,
(
)
(
)
pppF
Φ
=
,
т.е.
()
()
p
pF
p =Φ
или, что то же самое
()
()
p
pF
t
•
•
=ϕ , что и утверждалось.
6.6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
1
0
. Пусть
() ( )
pFtf
•
•
= . Выше уже отмечалась аналитичность
(
)
pF в полуплоскости α>pRe .
Т е о р е м а 1. Имеет место соотношение
() ()
tftpF −=
′
•
•
.
Таким образом, дифференцирование изображения влечет за собой умножение оригинала на
()
t− .
Следует отметить, что
()
(
)
tft− – это оригинал.
Условия а), б) п. 2
0
параграфа 6.1, очевидно, выполнены. В силу того, что степенная функция растет медленнее показа-
тельной (именно,
t
et
β
< при любом 0>β ), получаем
(
)
(
)
(
)
t
eMtft
β+α
≤− , где
β
– сколь угодно близко к нулю; таким об-
разом, и условие в) выполнено.
Доказательство теоремы содержится в соотношении (6.2.4).
С л е д с т в и е. Имеет место соотношение
()
() ( ) ()
tftpF
n
n
n
1−=
•
•
.
Действительно, после второго дифференцирования оригинал
(
)
(
)
tft
−
умножится (согласно теореме 1) на
()
t
−
, т.е.
() ()
tftpF
2
•
•
=
′′
.

Страницы