Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3
0
. Вычислим отдельные значения гамма-функции:
а)
()
;11
0
==Γ
∫
∞
−
dte
t
б) π=τ==
Γ
∫∫
∞
τ−
∞
−
00
2
2
2
1
dedt
t
e
t
,
где использована постановка
t=τ (так что
2
τ=t и
τ
τ
=
ddt 2 ) и хорошо известное значение интеграла Пуссона
2
0
2
π
=τ
∫
∞
τ−
de .
4
0
. Последовательно применяя формулу (6.4.3) при целом
(
)
...,3,21
=
−
=
nnx , получаем
() ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
()( ) ()()
!112...21
32121
−=Γ⋅−−=
=
−
Γ
−
−
=
−
Γ
−=Γ
nnn
nnnnnn
поскольку
()
11 =Γ (см. п. 3
0
, а)). Итак,
(
)
(
)
;...,2,1,!1 =
−
=
Γ
nnn (6.4.5)
в случае 1=n формула остается верной, так как
(
)
11!0
Γ
=
=
.
Если (6.4.3) и свойство б) п. 3
0
применить в случае
Γ
2
3
, то получаем
22
1
2
1
1
2
1
2
3 π
=
Γ=
+Γ=
Γ
;
аналогично
4
3
2
3
2
3
2
5 π
=
Γ=
Γ
и т.д.
5
0
. Докажем, что
(
)
0,
1
1
>
+Γ
=
+
•
•
s
p
s
t
s
s
. (6.4.6)
Ограничимся рассмотрением частного случая: p – действительное положительное число; однако соотношение (6.4.6)
остается справедливым и при комплексных p, для которых
0Re >p . Имеем
dtett
ptss
∫
∞
−
•
•
=
0
.
Положим τ=p
t
, тогда
[
)
∞∈τ ,0 ,
τ=
p
t
1
и
τ= d
p
dt
1
. Следовательно,
()
1
1111
1
0
1
0
+Γ=ττ=τ
τ=
+
∞
τ−
+
∞
τ−
•
•
∫∫
s
p
de
p
de
pp
t
s
s
s
s
s
,
что и утверждалось.
При
...,2,1== ns имеем, согласно соотношениям (6.4.5) и (6.4.6)
1
!
+
•
•
=
n
n
p
n
t
З а м е ч а н и е. Функция
(
)
s
ttf = при 01
<
<
− s перестает быть оригиналом, так как имеет бесконечный разрыв в
точке
0=t . Однако рассуждения, использованные только что, показывают, что преобразование Лапласа выполнимо и в этом
случае и приводит к результату
(
)
1
1
+
+Γ
s
p
s
(поскольку 01 >
+
s , то
(
)
1
+
Γ
s существует). Следовательно, соотношение (6.4.6) в
только что указанном смысле, справедливо для всех
1
−
>s . В частности (см. п. 3
0
, б)),
,
2
1
1
pt
Γ
=
•
•
т.е.
p
t
π
=
•
•
1
.
6
0
. Найдем, например, изображение функции
(
)
sat
tetf = . Применяя (6.4.6) и теорему смещения, имеем

Страницы