Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

в случае
()
0
0 yy = , где
0
y – заданное число. Пусть
(
)
tf – оригинал, имеющий изображение
()
pF . Применяя к обеим частям
уравнения (7.3.1) преобразование Лапласа и пользуясь формулой для изображения производной (см. (6.5.1))
() ( ) ( )
0ypYpty −=
′
•
•
, имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
pFpYaypYp
=
+
−
0 ,
откуда
()() ()
pFypYap =−+
0
, а значит
()
(
)
pa
pFy
pY
+
+
=
0
.
Остается восстановить по
()
pY оригинал
()
tyy = , который и будет решением указанной задачи Коши; приемы обращения
()
pY рассмотрены выше (см. параграфы 7.1, 7.2).
3
0
. Тот же способ применим для решения задачи Коши для уравнения второго порядка:
(
)
()
()
′
=
′
=
=+
′
+
′′
0
0
01
0
;0
;
yy
yy
tfyayay
и в более общем случае произвольного (n-го) порядка:
(
)
(
)
()
()
()
()
()
()
=
′
=
′
=
=+
′
+++
−−
−
−
.0
...
;0
;0
;...
1
0
1
0
0
01
1
1
nn
n
n
n
yy
yy
yy
tfyayayay
(7.3.2)
В простейшей ситуации
()
0...
1
0
00
===
′
=
−n
yyy результат применения преобразования Лапласа к обеим частям уравне-
ния (7.3.2) приводит к алгебраическому уравнению
(
)
pFYapYaYpaYp
n
n
n
=++++
−
− 01
1
1
...
,
откуда
()
(
)
()
pT
pF
pYY
n
== ,
где
()
01
1
1
... apapappT
n
n
n
n
++++=
−
−
– так называемый характеристический многочлен для уравнения (7.3.2). Задача свелась к обращению преобразования Лапла-
са.
4
0
. Если числа
()
1
0
00
...,,,
−
′
n
yyy считать произвольными постоянными (в этом случае их удобно переобозначить через
n
CCC ...,,,
21
, соответственно), то применение к уравнению (7.3.2) с начальными условиями
()
(
)
(
)
(
)
n
n
CyCyCy ==
′
=
−
0...,,0,0
1
21
операционного метода приводит к получению общего решения. Найденные оригиналы
()
n
CCtyy ...,,;
1
= обращаются в
ноль при
0<t .
С точки зрения задач физики, мы получаем информацию о течении процесса с момента
0=t . Если же начальные условия
задаются в точке
0
0
≠t , то выделение соответствующего частного решения из полученного общего происходит обычным спо-
собом (написание и решение системы алгебраических линейных уравнений относительно
n
CCC ...,,,
21
).
5
0
. П р и м е р 1. Решить задачу Коши
()
=
=−
′
.10
;3
4
y
eyy
t
Р е ш е н и е. Пусть
() ( )
pYty
•
•
= . Тогда (см. п. 2
0
)
()
10 −=−=
′
•
•
pYyYpy и
4
1
31
−
=−−
p
YpY
,
откуда
()
1
4
1
3 +
−
=−
p
Yp или
()
4
1
3:
4
3
−
=−
−
−
=
p
p
p
p
Y
.

Страницы