Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ()
∫∫
∞∞
σ−−
=
00
dtetfdtetf
tpt
. (6.2.3)
При этом, согласно условию в) п. 2
0
параграфа 6.1,
()
t
eMtf
α
≤ , где
α
– показатель роста.
Подынтегральная функция в (6.2.3) тогда не превосходит
(
)
ttt
eMeeM
σ−ασ−α
= ,
а интеграл последней функции имеет вид
() ()
()
()
()
,1lim
limlim
0
00
α−σ
=−
α−σ
=
=
σ−α
⋅==
σ−α
∞→
σ−α
∞→
σ−α
∞→
∞
σ−α
∫∫
M
e
M
e
MdteMdteM
B
B
B
t
B
В
t
B
t
так как
(
)
0lim =
σ−α
∞→
B
B
e для
α
>
σ
=
pRe .
Итак, выражение (6.2.3) мажорируем сходящимся при
α
>pRe интегралом
()
dteM
t
∫
∞
σ−α
0
,
и, следовательно, в указанной полуплоскости абсолютно сходится (6.2.1).
Таким образом, для каждого оригинала
()
tf в области
α
>pRe
определено его изображение (6.2.1).
Аналитичность
()
pF означает его дифференцируемость при каждом из указанных p. Поскольку, как только что было
доказано,
()
()
∫∫
∞∞
σ−α−
∞<≤
00
dteMdtetf
tpt
,
т.е. интеграл Лапласа "мажорируем" сходящимся интегралом, то возможно дифференцирование под знаком интеграла (это
свойство доказывается с помощью тех же идей, которые используются при доказательстве почленной дифференцируемости
равномерно сходящихся рядов):
() ( ) ()
∫
∞
−
−=
′
0
dtetftpF
pt
. (6.2.4)
Остается доказать существование
()
pF
′
именно при тех p, для которых
α
>pRe . А это, в свою очередь, вытекает из
оценки
()
()
()
()
()
() ()
,limlim
2
0
2
0
00
∞<
σ−α
=
σ−α
−
σ−α
==
=≤
σ−ασ−α
∞→
σ−α
∞→
∞∞
σ−α−
∫
∫∫
Meet
MdtetM
dtetMdtetft
B
tt
B
B
t
B
tpt
означающей сходимость интеграла (6.2.4); использованное здесь соотношение
()
0lim =
α−σ
∞→
В
B
e
B
устанавливается с помощью пра-
вила Лопиталя.
3
0
. Итак, преобразование Лапласа ставит в соответствие каждому оригиналу единственное изображение
(
)
pF . Спра-
ведливо и обратное: при определенных ограничениях на аналитическую
(
)
pF она является изображением некоторого ори-
гинала. При этом оказывается, что два непрерывных оригинала, имеющих одно и то же изображение, тождественно равны.
6.3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.
ИЗОБРАЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1
0
. Линейность. Пусть
() ( )
pFtf
•
•
= ,
() ( )
pGtg
•
•
= и
µ
λ
, – произвольные (действительные или комплексные) числа.
Т е о р е м а. Имеет место соотношение
() () ( ) ( )
pGpFtgtf µ+λ=µ+λ
•
•
.

Страницы