ВУЗ:
Составители:
Поскольку dtizdtiedz
it
=⋅⋅= на этой окружности, а, значит,
dz
iz
dt
1
=
, то
() ()
∫∫∫
=
π
=
=
−
+=
1
2
01
111
2
1
;
1
2
1
sin,cos
zz
dzzf
i
dz
izz
z
iz
zRdtttR .
По основной теореме о вычетах вычисляемый интеграл равен
[]
∑
=
π
N
k
k
zzfi
i
1
;)(Выч2
1
,
а это и есть утверждение (5.4.1).
Заметим, что построение функции
()
zf по формуле (5.4.2) весьма неудобно при решении конкретных задач; проще
бывает повторить все рассуждения п. 3
0
.
4
0
. П р и м е р. Вычислить
∫
π
+
=
2
0
sin2 t
dt
J
.
Р е ш е н и е. Имеем
−=
z
z
i
t
1
2
1
sin
и dz
iz
dt
1
= на окружности 1=z . Следовательно,
∫∫
==
−+
=
−
+
=
11
22
14
2
2
1
2
1
zz
izz
dz
zi
z
dz
iz
J
.
Поскольку 014
2
=−+ izz при
(
)
3232
2,1
±−=−±−= iiz , а среди этих двух точек только
(
)
32
2
−−= iz лежит внутри ок-
ружности
1=z
, то для простого полюса
2
z функции
14
1
2
−+ izz
имеем
⋅π⋅= iJ 22 Выч
()
−−
−+
32;
14
1
2
i
izz
=
()
()
3
2
32
4
42
4
14
1
4
3232
2
π
=
π
=
+
π
=
′
−+
π=
+−=−−=
i
i
iz
i
izz
i
iiziz
.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 5
1. Найти вычеты относительно точки 0=z функций:
а)
()
z
ezf
1
−
= ; б)
z
π
sin
.
2. Найти вычеты следующих функций относительно каждого из полюсов:
а)
z
i
z
2
3
2
−
+
; б)
22
π+
π
z
e
z
; в)
()
2
22
4
sin
π−z
z
; г)
2
tg
z
при π< 2z .
3. С помощью основной теоремы о вычетах вычислить следующие интегралы (на окружностях выбрано направление
обхода против часовой стрелки):
а)
∫
π
=
2
ctg
z
dzz ; б)
()
∫
=−
+
1
3
2
1
iz
z
dz
; в)
()
()
∫
=+
−
−
31
22
1
z
zz
dziz
г)
∫
=
−
1
4
z
z
z
dze
.
4. С помощью вычетов вычислить следующие несобственные интегралы:
а)
∫
∞
∞−
+
+
dz
x
x
9
4
4
2
; б)
()( )
∫
∞
∞−
++ 21
22
xx
dx
; в)
∫
∞
∞−
+1
4
x
dx
.
5. С помощью вычетов найти:
∫
π
−
2
0
2cosx
dx
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
