Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()()()()
.1010sincoscossin1
2
0
0
2/
2
−=+−+=+=+−⋅=
∫
π
π
iititdttitJ
П р и м е р 2. Вычислить интеграл
(
)
,
0
0
dzzzJ
Rzz
n
∫
=−
−=
где n – любое целое число; вычисление ведется вдоль окружности Rzz =−
0
(
0
z и 0>R – данные числа) в направлении
обхода против часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Имеем окружность с центром в точке
000
yixz
+
=
радиуса R, следовательно,
π≤≤
=−
=−
20
,sin
;cos
0
0
t
tRyy
tRxx
.
Иначе говоря,
()
titRzz sincos
0
+=− или
ti
eRzz +=
0
; тогда dteRidz
ti
= . При 1
−
≠
n имеем
()
()
()
()
=
+
==⋅=
π
+
+
π
++
π
∫∫
0
2
1
1
2
0
11
2
0
1ni
e
RidteRidteRieRJ
tni
ntninti
n
ti
()
()
() ()()
.0112sin12cos
1
1
1
1
21
1
=−π++π+
+
=−
+
=
+
π+
+
nin
n
R
e
n
R
n
ni
n
Если 1−=n , то
∫∫
ππ
π===
2
0
2
0
2 idti
eR
dteRi
J
ti
ti
.
Итак,
()
−=π
−−≠
=−
∫
=−
.1,2
целое;,1,0
0
0
ni
nn
dtzz
Rzz
n
3.6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
1
0
. Пусть L – замкнутый контур, целиком расположенный в области G. Будем считать, что L задан уравнением
(
)
tzz
=
с непрерывной
()
tz
′
, т.е. контур гладкий или хотя бы кусочно-гладкий.
Т е о р е м а К о ш и. Пусть
f аналитична в G, и контур L ограничивает односвязную область GD ⊂ . Тогда
(
)
∫
=
L
dzzf 0 .
Эту теорему легко доказать при дополнительном предположении, что
(
)
zf
′
– непрерывна. В силу формул (3.3.2) и
(3.3.3) тогда будут непрерывными в
G все частные производные первого порядка функций
()
(
)
zfyxu Re,
=
и
() ()
zfyxv Im, = . При этих предположениях к каждому из криволинейных интегралов в представлении (см. (3.5.5))
(
)
(
)
(
)
(
) ()
(
)
∫∫∫
++−+=
LLL
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf ,,,, (3.6.1)
можно применить формулу Грина:
()
(
)
,
∫∫∫
∂
∂
−
∂
−∂
=−+
DL
dydx
y
u
x
v
dyvdxu (3.6.2)
∫∫∫
∂
∂
−
∂
∂
=+
LD
dydx
y
v
x
u
dyudxv
; (3.6.3)
обход контура
L в криволинейных интегралах происходит против часовой стрелки.
Согласно условиям Коши–Римана (3.4.1) интеграл в правой части (3.6.3) равен нулю, и это же верно для двойного инте-
грала в (3.6.2), так как
()
.0=
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
−∂
y
u
x
v
y
u
x
v
Следовательно, равны нулю и оба криволинейных интеграла; они остаются нулевыми, если изменить направление обхода L
на противоположное.
Теперь, в силу равенства (3.6.1), получаем утверждение теоремы.

Страницы