Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
3.1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
1
0
. Определение производной формально не отличается от случая функций действительного переменного. Однако, на
самом деле, условие дифференцируемости функций комплексного переменного является более ограничительным в сравне-
нии с упомянутым случаем, что будет ясно из дальнейшего.
Пусть однозначная функция
()
zfw
=
определена в точке
iyxz
+
=
и некоторой ее окрестности. Пусть x и y получают,
соответственно, приращения
x∆ и y∆ . Тогда yixz
∆
+
∆
=∆ – соответствующее приращение переменной z. При переходе от
точки z к точке
z
z
∆+ (значения ,x
∆
y∆ предполагаем столь малыми, что точка
z
z
∆
+
расположена в той же окрестности)
значение
()
zfw = получает некоторое приращение
(
)
(
)
.zfzzfw
−
∆
+
=
∆
О п р е д е л е н и е. Пусть существует предел вида
.lim
0
z
w
z
∆
∆
→∆
(3.1.1)
Он называется производной функции
()
zf в точке z и обозначается
(
)
zf
′
либо .,,
dz
df
dz
dw
w
′
Функция же
)
zf называ-
ется дифференцируемой в точке z.
Заметим, что в случае функции действительного переменного
(
)
x
ϕ
существование производной есть существование
предела
x∆
ϕ∆
, когда
x∆ приближается к нулю вдоль оси абсцисс. В случае же (3.1.1)
z
∆
приближается к нулю в комплекс-
ной плоскости по любому пути. Это и является причиной появления некоторых новых дополнительных свойств дифферен-
цируемых функций в сравнении со случаем функций действительного переменного.
2
0
. Из свойств пределов и определения (3.1.1) вытекает, что дифференцируемость
)
zf в точке z эквивалентна равенст-
ву
() ( )
,, zzzf
z
w
∆α=
′
−
∆
∆
где
()
0, →∆α zz при 0→∆z . Следовательно, существование производной равносильно соотношению
(
)()
zzzzzfw ∆∆α
+
∆
′
=
∆
, . (3.1.2)
Выражение
()
zzfwd ∆
′
= называется дифференциалом
(
)
zf в точке z.
Если
0→∆z , то из (3.1.2) вытекает, что 0→∆w , а это означает: дифференцируемость в точке z влечет за собою непре-
рывность
()
zf в той же точке.
3
0
. Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной
(
)
,0
0
≠
′
zf считая для определенности, что
(
)
zf
дифференцируема в точке
0
z и некоторой ее окрестности
0
U . Если
−
0
W образ этой окрестности (при отображении функци-
ей f), то для любой кривой
0
U⊂γ ее образ
0
W⊂Γ ; обозначим
(
)
.
00
zfw
=
Пусть
0
zz → вдоль кривой
γ
, тогда (в силу непрерывности
(
)
,zfw
=
см. п. 2
0
)
0
ww → вдоль Г. Комплексные числа
z
∆ и w∆ изображаются векторами секущих к кривым
γ
и Г соответственно; следовательно, z∆arg и
−
∆warg углы наклона
этих векторов к соответствующим осям абсцисс. Поскольку при делении аргументы комплексных чисел вычитаются, то со-
гласно (3.1.1)
() () ()
ϕ−Φ=∆−∆=
∆
∆
=
′
=α
→∆→∆→∆
zw
z
w
zf
zzz
arglimarglimlimargarg
000
0
,
где Φ и ϕ – углы наклона (к осям абсцисс) уже соответствующих касательных (касательная – это предельное положение се-
кущей). Итак,
()
0
arg zf
′
=α – угол, на которой относительно точки 0 повернулась касательная (к произвольной кривой
γ
в
точке
0
z ) при отображении
(
)
zfw = .
В определении (3.1.1)
()
,lim
0
0
z
w
zf
z
∆
∆
=
′
→∆
т.е.
(
)
(
)
,0const~
0
≠
′
∆⋅∆ zfzw
где const и есть
()
0
zf
′
. Следовательно, бесконечно малое расстояние между точками
0
z и zzz ∆+=
0
преобразуются в
бесконечно малое расстояние между
0
w и www
∆
+
=
0
, так что отношение этих расстояний (при произвольности пути, по
которому точка
z
приближается к
0
z ) остается постоянным.

Страницы