Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

коэффициенты
()
−= nja
j
...,,1,0
фиксированные комплексные числа.
2
0
. При всех 0≠z определена функция вида
z
w
1
= , которая является частным случаем дробно-линейной функции
.0;; ≠−≠
+
+
= c
c
d
z
dzc
bza
w
Еще более общий случай – рациональная функция
()
(
)
()
zP
zP
zR
n
m
nm
=
,
,
определенная во всех тех точках, где
()
0≠zP
n
.
3
0
. При всех C∈z определена n-значная функция вида
n
zw = ,
а также (в параграфе 2.5) однозначные функции вида zwew
z
sin, == , .ch,sh zwzw
=
=
Рассматривались (на соответствую-
щих областях определения)
.ctg,tg zwzw == Многозначными (бесконечнозначными) являются
;0;Ln ≠= zzw ;cosArc;sinArc zwzw
=
= zw Arctg
=
; .ctgArc zw
=
4
0
. Всякая функция, полученная из перечисленных основных элементарных путем выполнения над ними конечного ко-
личества арифметических действий, а также взятия конечного числа суперпозиций (функции от функции) называется эле-
ментарной.
Отметим без доказательства, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. В случае
многозначных функций (многозначность обусловлена значениями целого параметра k) речь идет о непрерывности "каждой
ветви", т.е. однозначной функции, получаемой при фиксированном значении параметра k (см. соответствующие определения
...),sinArc,Ln, zzz
n
.
5
0
. Особого разговора заслуживает описание тех геометрических образов, которые возникают при отображениях, осу-
ществляемых основными элементарными функциями. Мы остановимся на кратком описании нескольких простейших случа-
ев.
а) Линейная функция
bazw
+
=
. В случае
0
=
b и действительного значения 0>
=
ra мы имеем в плоскости XOY го-
мотетию
z
r
w = с центром в начале координат и коэффициентом r (перемещение точки z вдоль луча Oz на расстояние
)zr . В случае комплексного a, имеющего показательную форму
ϕ
=
i
era , умножение ze
iϕ
есть изменение аргумента каж-
дого z на величину ϕ, т.е. преобразование поворота (вокруг начала координат) на угол ϕ каждого луча Oz. Дальнейшее ум-
ножение на
0>r есть описанная выше гомотетия. Итак, действие отображения −=
ϕ
zerw
i
это композиция преобразования
поворота на угол ϕ комплексной плоскости и гомотетии с коэффициентом r.
Рис. 2.7.1
Наконец, в общем случае
bazw +
=
вслед за описанной композицией гомотетии и поворота выполняется, очевидно,
сдвиг (параллельный перенос) комплексной плоскости на радиус-вектор точки b, см. рис. 2.7.1, на котором точке z поставле-
на в соответствие точка
bazw +
=
путем выполнения, последовательно, преобразований:
z
r
z
a
(
)
;10
<
<
r
zaz
r
a
(
)
ϕ
=
i
era ; bzaza +a .
б) Степенная функция
., Nnzw
n
∈= Если
ϕ
ρ=
i
ez , то
ϕ
ρ=
nin
ew . Для каждого фиксированного 0
≠
z имеем
()
ϕ−+ϕ=ϕ 1nn , т.е. имеем последовательное выполнение поворота луча Oz на угол
(
)
ϕ
−
1n относительно точки O и преоб-
разование в
n
ρ раз (растяжение при 1>ρ , сжатие при 10
<
ρ
<
) отрезка zO
′
, где .
ϕ
=
′
ni
ez
Для
n
zw = , где
ϕ
ρ=
i
ez , 0≠z , имеем
(
)
kk
n
k
iww ψ+ψρ== sincos
, т.е.
k
i
n
k
ew
ψ
ρ= , где .1...,,1,0,
2
−=
π+ϕ
=ψ nk
n
k
k
Для всякого
0≠z и фиксированного k теперь отображение
k
w есть последовательное выполнение поворота на угол
n
k
n
n π
+
−
ϕ
21
(так как
n
k
n
n
k
π
+
−
ϕ+ϕ=ψ
21
) луча Oz и преобразование отрезка zO
′
(где
k
i
ez
ψ
=
′
) в
n
ρ раз.

Страницы