Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ϕρ=
ϕρ=
.sin
;cos
y
x
2
0
. Связь полярных и прямоугольных координат точки M может быть также представлена в виде
.;tg
22
yx
x
y
+=ρ=ϕ
Следовательно, z=ρ есть модуль числа z; число ϕ назовем аргументом z. Обозначим через arg z одно из возможных значе-
ний
:ϕ ;arg π≤<π− z это значение назовем главным значением аргумента; иногда главное значение рассматриваем в ин-
тервале; совокупность всех значений
ϕ имеет вид
Очевидно, что
()
2
arg
π
±=±
iy (случай 0,0
≠
= yx ),
Для точки 0=z значение аргумента не определено; очевидно, что .00 =
3
0
. Умножение, возведение в натуральную степень (т.е. умножение числа z на себя n раз) и деление комплексных чисел
удобно выполнять, записав эти числа в тригонометрической форме.
Установим формулы:
(
)( )
(
)
;sincos
21212121
ϕ
+ϕ+ϕ+
ϕ
ρ
ρ
=
izz (1.4.2)
()()()
;0,sincos
22121
2
1
2
1
≠ρϕ−ϕ+ϕ−ϕ
ρ
ρ
= i
z
z
(1.4.3)
(
)
...,2,1,sincos =ϕ+ϕρ= nninz
nn
. (1.4.4)
Иначе говоря: при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы
складываются; при делении – модули делятся, а аргументы вычитаются; при возведении в степень
N∈n – модуль возводит-
ся в эту степень, а аргумент умножается на n.
Д о к а з а т е л ь с т в о (1.4.2). По правилу умножения комплексных чисел имеем
()
(
)
[]
.cossinsincossinsincoscos
212121212121
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
−
ϕϕρ
ρ
= izz
В круглых скобках записаны соответственно формулы для косинуса суммы и синуса суммы. Следовательно,
(
)
(
)
[
]
,sincos
21212121
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
ρ
ρ= izz
что и требовалось.
Д о к а з а т е л ь с т в о (1.4.3). Пусть
.
2
1
z
z
z
=
По определению деления тогда ,
21
zzz
=
а по формуле (1.4.2)
()
(
)
(
)
(
)
,sincossincos
222111
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
ρ
ρ
=
ϕ
+ϕρ ii
отсюда
π+ϕ+ϕ=ϕ
ρρ=ρ
,2
;
21
21
k
или
π−ϕ−ϕ=ϕ
ρ
ρ
=ρ
,2
;
21
2
1
k
Z
∈
k .
Итак, частное z имеет модулем число
2
1
ρ
ρ
, а аргументом (с точностью до Z
∈
π
kk,2 ) разность
21
ϕ−ϕ . Это и есть ут-
верждение (1.4.3).
Наконец, последовательно выполняя умножение z (на себя) n раз, получаем по формуле (1.4.2):
()
(
)()
(
)
,sincos...sin...cos...... ϕ+ϕρ=+ϕ+ϕ++ϕ+ϕ⋅⋅ρ⋅ρ=⋅⋅= ninizzz
nn
и формула (1.4.4) доказана.
4
0
. П р и м е р 1. Выполнить в тригонометрической форме следующие действия:

Страницы