Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1
0
. В параграфе 1.2 мы отожествили любое комплексное число iyxz
+
=
с радиус-вектором точки
()
., yx В связи с этим
операция сложения комплексных чисел
iyxz
111
+= и iyxz
222
+
=
вводится по аналогии с такой же операцией над вектора-
ми, которая, в свою очередь, выполняется покоординатно. Итак, полагаем по определению
(
)
(
)
iyyxxzz
212121
+
+
+
=
+
.
Другими словами, сложение комплексных чисел выполняется по такому же правилу, как над многочленами.
Сумма большего количества комплексных чисел находится аналогичным образом: если
()
nkiyxz
kkk
...,,2,1
=
+= , то
∑
=
=
n
k
k
zz
1
определяется в виде .
11
iyxz
n
k
k
n
k
k
+=
∑∑
==
Поскольку привычные свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения справедливы для действи-
тельных чисел, они (эти свойства) на основании введенных определений будут сохраняться и для комплексных чисел:
() ()
.
;
321321
1221
zzzzzz
zzzz
++=++
+=+
2
0
. Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению:
,
12
zzz
−
=
если .
12
zzz
+
=
Установим существование, единственность разности и способ ее нахождения. Пусть ,yixz
+
=
тогда по определению равен-
ства комплексных чисел соотношение
(
)
(
)
iyxyixiyx
1122
+
+
+
=
+
будет означать, что
+=
+=
,
;
12
12
yyy
xxx
откуда
−=
−=
.
;
12
12
yyy
xxx
Итак, действительная и мнимая части разности
12
zzz
−
=
определены однозначным образом, при этом получена фор-
мула
(
)
(
)
.
121212
iyyxxzz
−
+
−
=
−
Имеем аналогию с разностью векторов, вычитание которых выполнялось покоординатно. Можно также сказать, что вычита-
ние производится по такому же правилу, как для многочленов.
Алгебраическая сумма n комплексных чисел
(
)
2>n определяется путем выполнения действий в том порядке, в каком
они записаны. Например,
(
)
(
)
.
43214321
zzzzzzzz
+
−
−
=
+
−
−
Однако, и в этом случае действует ассоциативный закон (возможность группировки), так как этот закон справедлив для дей-
ствительных и для мнимых частей соответствующих комплексных чисел. Так, в приведенном примере возможен и такой
порядок действий:
(
)
(
)
.
34214321
zzzzzzzz
−
+
−
=
+
−
−
П р и м е р: Вычислить ,
321
zzz −+ если
.51,57,2
321
iziziz
−
=
+
=
−
=
Р е ш е н и е. Имеем
()
(
)
(
)
(
)
(
)
()()()()
;8653175137
515270
321321
iiii
iizzzzzz
+=++−=−−+=
=−−+−++=−+=−+
.1086
22
321
=+=−+ zzz
3
0
. Произведение двух комплексных чисел iyxz
111
+
=
и iyxz
222
+
=
определим в виде
(
)( )
.
2121212121
ixyyxyyxxzz +
+
−
=
(1.3.1)
Имеем, в частности, квадрат комплексного числа
2
z
(т.е. произведение z
z
) в виде
(
)
xyiyxz 2
222
+−= ; следовательно,
,010
2
ii +−= 1
2
−=i .

Страницы