Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методические разработки. Нахман А.Д. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методические разработки содержат основные сведения по следующим разделам курса математики: "Числовые ряды",
"Степенные ряды", "Ряды Фурье", "Элементы теории вероятностей и математической статистики". Предложены типовые задачи и
образцы их решений, ознакомившись с которыми, следует приступать к выполнению контрольных заданий. Контрольные работы
№ 10, 11, 12 содержат по 5 заданий, номера которых определяет кафедра (в соответствии с учебным номером студента).
I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1°. Основные понятия. Пусть дана бесконечная числовая последовательность
{
}
n
a . Числовым рядом называется формально
составленная бесконечная сумма
∑
∞
=
++++=
1
21
......
n
nn
aaaa
. (1)
Ряд (1) называется сходящимся (и имеющим сумму S), если существует и конечен предел вида
)...(lim
21 n
n
aaaS +++=
∞→
,
и расходящимся в противном случае.
2°. Достаточный признак расходимости ряда. Если
0lim ≠
→∞
n
n
a
,
то ряд (1) расходится. В случае же 0lim =
∞→
n
n
a ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся (его поведение зависит от
вида последовательности
{}
n
a ).
3°. "Обобщенный гармонический ряд"
∑
∞
=
++++=
1
...
1
...
2
1
1
1
n
ppp
nn
является сходящимся при р > 1 и расходящимся при р 1
≤
.
4°. Достаточные признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с положительными членами. Пусть дан ряд (1), в котором
.a
n
0>
Признак Даламбера. Если существует предел вида
n
n
n
a
a
D
1
lim
+
→∞
=
,
то при D < 1 ряд – сходящийся, при D > 1 – расходящийся.
Признак Коши. Если существует предел вида
n
n
n
aK
∞→
= lim ,
то при K < 1 ряд – сходящийся, при K > 1 – расходящийся.
Замечание. В случаях
D = 1 или K = 1 соответствующий признак не дает ответа на вопрос о сходимости
ряда; требуется применить другие признаки.
5°. Признак сравнения знакоположительных рядов. Предположим, что ряд
∑
∞
=
=>
1
...),2,1(0,
n
nn
nbb
(2)
имеет заранее известное поведение и существует предел вида
n
n
n
b
a
L
∞→
= lim
.
Если 0≠
L и ∞≠
L
, то поведение ряда такое же, как и ряда (2).
Замечание. Ряд (2), определяющий поведение данного ряда, называют эталонным. Часто в качестве эталона выбирают
обобщенный гармонический ряд.
6
°. Достаточный интегральный признак (Коши) сходимости знакопо-ложительных рядов. Построим функцию f(x), заменив n
на
х в аналитическом выражении общего члена a
n
.
Если
f(x) непрерывна и убывает на
);1[ ∞+
, то знакоположительный ряд является сходящимся в случае сходимости
несобственного интеграла
∫
∞
=
1
)( dxxfJ , (3)

Страницы