Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методические разработки. Нахман А.Д. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(то есть в случае, если J – число). Если же интеграл (3) является расходящимся (
+
∞
=
J ), то ряд расходится. Если члены ряда
нумеруются, начиная с l
=n (1>l ), то интеграл вида (3) берется по
[
)
∞∈ ;lx .
7
°. Сравнительная характеристика признаков. При исследовании конкретного ряда следует удачно выбрать соответствующий
признак. Здесь можно пользоваться следующими рекомендациями:
1) если члены ряда быстро убывают (растут), то бывает эффективен признак Даламбера;
2) если выражение для
a
n
имеет вид блока в степени, кратной n (так что легко извлекается корень n-й степени), то эффективен
признак Коши;
3) если выражение для
a
n
содержит арифметические действия над степенными функциями, то при больших значениях n члены
ряда ведут себя как
p
n
1
, и, следовательно, в качестве эталона для сравнения выбирают обобщенный гармонический ряд с
соответствующим значением р . Обычно эффективен признак сравнения в предельной форме;
4) если для функции f(x), полученной при замене п на х в выражении a
n
, достаточно легко вычисляется первообразная F(х) , то
бывает эффективен интегральный признак.
Указанные рекомендации не охватывают, естественно, все возможные случаи и служат лишь в качестве наводящих
соображений.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
Исследовать сходимость ряда:
а)
∑
∞
=
+
1
2
5)12(
n
n
n
n
; б)
∑
∞
=
+
1
2
2
n
n
n
; в)
∑
∞
=3
ln
1
n
nn
.
Решение: а) Общий член знакоположительного ряда
2
5)12(
n
n
a
n
n
+
=
содержит множителем показательную функцию. Согласно п. 7°, целесообразно применить признак Даламбера (4°). Найдем a
n+1
,
взяв (n + 1) вместо n в аналитическом выражении для a
n
:
2
1
2
1
1
)1(
5)32(
)1(
5)1)1(2(
+
+
=
+
++
=
++
+
n
n
n
n
a
nn
n
.
Теперь вычисляем соответствующий предел:
=
++
+
=
+
+
+
==
+
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
D
5
5
112
32
lim
5)12(
:
)1(
5)32(
limlim
1
2
22
1
1
.151
2
2
5
1
1
1
1
2
3
2
lim5
2
>=⋅⋅=
++
+
=
∞→
nn
n
n
Имеем: D > 1; согласно признаку Даламбера, ряд расходится.
б) Имеем, очевидно, ряд с положительными членами. При больших значениях n поведение общего члена a
n
определяется
старшими степенями n (см. п. 7
°). Выбираем эталон для сравнения:
∑
∞
=1
2/3
1
n
n
(поскольку
2/32
1
nn
n
a
n
=≈ при
∞
→n );
этот ряд – сходящийся 12/3 >=p . Согласно признаку сравнения в предельной форме (п. 5°, б)) находим
.1
2
1
1
lim
2
lim
1
:
2
lim
2
2
2
2/32
=
+
=
+
=
+
=
∞→∞→∞→
n
n
n
nn
n
L
nnn
Поскольку L = 1, то есть 0≠L ,
∞
≠
L
, то поведение исходного ряда – такое же, как и эталонного. Итак, ряд сходится.
в) функция
xx
xf
ln
1
)( =
непрерывна при 3≥x и убывает с ростом х (так как растет знаменатель дроби). Применяем
интегральный признак
∞=−∞=−∞====
∞
∞∞
∫∫
)3ln(lnln)3ln(ln)ln(lnlnln
ln
ln
ln
3
33
x
x
xd
xx
dx
J .
Несобственный интеграл оказался расходящимся; следовательно ряд – расходится.
Перейдем к рассмотрению рядов с произвольными членами.
8°. Достаточный признак сходимости. Если дан ряд

Страницы