ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
),(,)(
0
RRxxaxy
n
n
n
−∈=
∑
∞
=
.
Оказывается, что такое представление (разложение), если оно возможно, должно иметь вид
...
!
)0(
...
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
)(
32
+++
′′′
+
′′
+
′
+=
n
n
x
n
y
x
y
x
y
x
y
yxy . (8)
Разложение (8) называется рядом Маклорена. Для основных элементарных функций справедливы следующие представления в виде
суммы соответствующих рядов Маклорена (параметр n в общем члене каждого ряда принимает значения 0, 1, 2, ...):
),(...;
!
...
!3!2!1
1
32
∞−∞∈++++++= x
n
xxxx
e
n
x
;
...
)!12(
)1(...
!7!5!3
sin
12753
+
+
−++−+−=
+
n
xxxx
xx
n
n
; );(
∞
−
∞
∈
x ;
...
)!2(
)1(...
!6!4!2
1cos
2642
+−++−+−=
n
xxxx
x
n
n
;
);(
∞
−
∞
∈
x
;
);1;1(...;)1(...1
1
1
2
−∈+−+−+−=
+
xxxx
x
nn
]1;1(...;
1
)1(...
32
)1(ln
132
−∈+
+
−+−+−=+
+
x
n
xxx
xx
n
n
. (9)
12°. Разложения Маклорена многих элементарных функций могут быть получены из указанных, если воспользоваться
свойствами сходящихся рядов (одновременное умножение всех членов ряда и его суммы на число; одновременное сложение суммы
ряда и любого из его членов с некоторым числом; почленное сложение рядов и др.). Кроме того, в интервале сходимости можно
почленно интегрировать и дифференцировать степенные ряды. В частности, возможно почленное интегрирование ряда (8) по всему
промежутку [a, b], целиком содержащемуся в соответствующем интервале значений х.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Разложить функцию в ряд Маклорена
.
2
1ln
2
−−=
xx
y
Решение. За основу, очевидно, следует взять разложение (9). Заменяя в нем х на
2
x
−
, и при этом требуя, чтобы аргумент
содержался в интервале (–1, 1], то есть
–1 <
2
x
− ≤ 1, или ,22
<
≤
−
x
получаем:
...
21
)1(
...
23
1
22
1
2
)
2
1(ln
132
+
−
+
−
+−
−+
−−−=−
+n
n
x
n
xxxx
.
Чтобы получить разложение функции
−−=
2
1ln
2
xx
y , последовательно рассмотрим
−−
2
1ln
x
и
22
1ln
xx
y
+
−−=
.
Умножим обе части последнего разложения на (-1) и прибавим к обеим частям выражение
2
x
:
...
2)1(
...
2322
)
2
1(ln
2
1
1
3
3
2
2
+
+
++
⋅
+
⋅
+=−−
+
+
n
n
n
xxx
x
xx
.
Это соотношение справедливо при
−
≤<22
x
.
2. , . , ( 0,001).
∫
−
1
0
6
22
sin
dx
x
xx
.
Решение. Задачу можно решить по следующей схеме:
а) воспользоваться разложением у = sin x, заменив в нем х на х
2
;
б) прибавить (–х
2
) к обеим частям полученного разложения;
в) умножить обе части разложения на
6
1
x
(см. замечание ниже);
г) почленно проинтегрировать полученный ряд по отрезку [0; 1];
д) произвести приближенные вычисления.
Последовательно имеем:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
