ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
возможны случаи круга сходимости "нулевого радиуса" (единственной точкой сходимости служит 0
0
=z ) и "бесконечного
радиуса" (областью сходимости является вся комплексная плоскость).
Радиус сходимости можно найти по одной из формул
D
R
1
=
или
K
R
1
= ,
где D и K – соответственно, числа Даламбера и Коши (см. п. 4°).
Найти круг сходимости степенного ряда:
∑
∞
=
+
1
32
n
n
n
z
.
Р е ш е н и е. Запишем общий член ряда в виде
n
z
n
32
1
+
;
можно считать, что
...,2,1;
32
1
;0
0
=
+
== n
n
aa
n
. Число Даламбера
()
;1
52
12
lim
12
1
:
312
1
limlim
1
=
+
+
=
+++
==
∞→∞→
+
∞→
n
n
nna
a
D
nn
n
n
n
теперь ,
1
D
R
= т.е. 1=
R
. Круг сходимости определяется неравенством
1<z
.
14
°. За основу определений основных элементарных функций комплексной переменной возьмем разложения в степенные
ряды соответствующих функций действительного переменного, в котором формально "
x" заменено на "z "; например,
()
.1;...
1
1...
321
1
132
<+
+
−+−+−=
+
+
z
n
zzz
z
z
n
n
(10)
Определенные соответствующими соотношениями функции служат примером так называемых аналитических функций
комплексного переменного. Вообще, элементарная функция комплексного переменного называется аналитической в области
G,
если в каждой точке этой области существует ее производная (определение и правила дифференцирования формулируются точно
так же, как для функции действительного переменного). Точка
0
z , в которой функция
(
)
zf неаналитична, называется ее особой
точкой. Например, функция
z
z
2
1 +
обладает особой точкой 0
0
=z ( в ней функция даже не определена). В общем случае
разложение по степеням z имеет вид
()
∑
∞
=
−
−
−
−
+−
+−
−
−
++++++=
0
1
1
2
2
1
1
......
n
n
n
m
m
m
m
zczczczczczf .
Члены с отрицательными степенями z образуют так называемую главную часть степенного ряда; при 0>m (главная часть
содержит какие-либо члены) точка 0
0
=z служит особой точкой
(
)
zf .
Если ,0
≠
−n
C тогда как
()
nmC
m
>=
−
0, то
0
z называют полюсом n-го порядка.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
Разложить в ряд по степеням z данную функцию комплексного переменного. Выяснить характер особой точки 0
=
z .
()
()
zz
zf
+
=
2
4
2
.
Решение. Воспользуемся базовым разложением (10). Для этого
(
)
zf запишем в соответствующем виде:
()
2
1
12
2
12
4
2
2
z
z
z
z
zf
+
⋅=
+⋅
=
.
Выбирая аргументом значение
2
z
и умножая обе части на
2
z
, имеем при
1
2
<
z
()
,...
2
2
1...
42
112
2
1
12
222
+⋅−++−+−=
+
⋅
z
zz
zz
z
z
n
n
n
т.е.
() ()
...
2
1...
42
112
1
2
2
+−++−+−=
−
−
n
n
n
zz
zz
zf
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
