Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методические разработки. Нахман А.Д. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1
Решение. На рис. 1 изображен график данной функции, продолженной на всю числовую ось 2π-периодическим образом.
Найдем коэффициенты ряда. Поскольку f(x) меняет аналитическое выражение при переходе через точку х = 0, то интеграл по
(–π, π) представляем в виде суммы интегралов по (–π, 0) и (0, π):
∫
∫∫∫
π−
π
π−
π
π−
+π
π
=
=
⋅++π
π
=
π
=
0
0
0
.cos)(
1
cos0cos)(
1
cos)(
1
dxnxx
dxnxdxnxxdxnxxfa
n
Интегрируя по частям
===+π=
n
nx
vdxnxdvdxduxu
sin
;cos;;
, имеем:
.
)1(1cos1
cos1sinsin
)(
1
22
000
nn
n
n
nx
n
dx
n
x
n
x
xa
n
n
π
−−
=
π
π−
=
=
π
=
−+π
π
=
π−
π−
π−
∫
Здесь и в дальнейшем используются очевидные соотношения:
...,2,1;)1(cos;0sin;10cos;00sin =−=π=π== nnn
n
.
Результат не проходит при n = 0 (n содержится в знаменателе); следовательно, вычисляем а
0
отдельно:
.
22
11
0)(
1
0
2
0
0
0
0
π
=
+π
π
=
++π
π
=
π−
π−
π
π−
∫∫
xxdxdxxa
Аналогичным образом получаем:
n
b
n
1
−= . Пользуясь найденными значениями а
0
, a
n
, b
n
, запишем ряд Фурье
f(x)∼
∑
∞
=
−
π
−−
+
π
1
2
.sin
1
cos
)1(1
4
n
n
nx
n
nx
n
Осталось исследовать сходимость ряда. Условия Дирихле для данной f(x), очевидно, выполнены. Сумма ряда S(x) во всех
точках
x ∈−(,)ππ , где функция непрерывна (то есть в точках x
≠
0 ), совпадает с соответствующими значениями f(x) (то есть
Sx x()=+π
при −< <π x 0 и S(x) = 0 при 0 <<x π ). В точке разрыва I рода х
0
= 0 имеем (см. рис. 1)
.00lim)(lim)0(
;)(lim)(lim)0(
00
0
00
0
===+
π=+π==−
+→+→
−→−→
xx
xx
xfxf
xxfxf
Следовательно,
.
2
)0(
2
1
)0(
π
=+π=S
II. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1°. Основными понятиями теории вероятностей являются понятия события и его вероятности. Случайным называется такое
событие, которое (при осуществлении некоторых условий) как результат опыта может произойти или не произойти. Каждому
опыту сопоставим множество всех элементарных исходов
{
}
n
ωωω=Ω ,...,,
21
, дающее полную информацию о предполагаемых
результатах. Здесь
ω
i
удовлетворяют следующим условиям:
а) обязательно произойдет один из исходов
ω
i
(то есть имеется "полная группа" результатов
i
ω );
б)
i
ω ,
k
ω для всех i , k , ki ≠ несовместны, то есть появление одного исхода исключает возможность появления другого;
в)
i
ω – равновозможны.
Среди элементов множества Ω имеются исходы, благоприятствующие событию А, то есть те, в результате которых событие А
наступает.
2°. Вероятностью (классической вероятностью) события А
называется отношение числа m благоприятных результатов к
числу n всевозможных исходов:

Страницы