Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методические разработки. Нахман А.Д. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

для всех 0≠z из круга 2<z ; особая точка 0=z является плюсом по- рядка 2
=
m .
РЯДЫ ФУРЬЕ
15°. Функция f(x), заданная на (–π, π) и 2π-периодическим образом продолженная на всю числовую ось, имеет разложение в
ряд по простейшим тригонометрическим функциям (синусам и косинусам) в виде
∑
∞
=
++=
1
0
sincos
2
)(
n
nn
nxbnxa
a
xf (11)
с коэффициентами
;...,2,1;sin)(
1
;cos)(
1
;)(
1
0
=
π
=
π
=
π
=
∫∫∫
π
π−
π
π−
π
π−
ndxnxxfbdxnxxfadxxfa
nn
предполагается пока, что указанное разложение возможно; (11) называется рядом Фурье.
Пусть f(x) удовлетворяет следующим условиям (условия Дирихле):
а) f(x) непрерывна на (–π, π) или имеет на (–π, π) лишь конечное количество разрывов и только первого рода (разрывы первого
рода могут быть и в концевых точках π±=
x
);
б) f(x) не имеет экстремумов на (–π, π) или имеет лишь конечное их ко- личество.
Тогда ряд (11) является сходящимся в каждой точке
),(
π
π
−
∈
x и его сумма совпадает со значениями f(x) в тех точках х, где
функция f(x) непрерывна. В точках же х = х
0
разрыва первого рода сумма S(x
0
) ряда Фурье есть
()
)0()0(
2
1
)(
000
++−= xfxfxS ,
где f(x
0
– 0) – левосторонний предел f(x) в точке х
0
; f(x
0
+ 0) – соответствующий правосторонний предел.
16°. Ряд Фурье функции f(x),
l2-периодическим образом продолженной с основного интервала π≠− lll ),,(, имеет вид:
nxbnxa
a
xf
n
nn
ll
π
+
π
+=
∑
∞
=
1
0
sincos
2
)(;
∫∫∫
−−−
π
=
π
==
l
l
l
l
l
l
lllll
.sin)(
1
;cos)(
1
;)(
1
0
dxnxxfbdxnxxfadxxfa
nn
Условия п. 15° сходимости ряда Фурье сохраняются и в применении к интервалу (,)
−
ll .
17°. Задача о разложении в ряд Фурье значительно упрощается, если f
(x) четна ( f (–x) = f (x)) или нечетна ( f (–x) = –f (x)) на
основном интервале. Так,
а) если f
(x) четна на ),( ll− , то
∫∫
=
π
===
ll
lll
00
0
...,2,1;cos)(
2
;)(
2
;0 ndxnxxfadxxfab
nn
;
ряд Фурье содержит, таким образом, только косинусы.
б) если f(x) нечетна на
(,)−ll , то
∫
=
π
===
l
ll
0
0
...,2,1;sin)(
2
;0;0 ndxnxxfbaa
nn
;
то есть разложение – лишь по синусам.
Указанные формулы справедливы, конечно, и при
l
=
π
(случай п. 15°).
В случае, когда f(x) задается на интервале
(,)0 l , она может быть продолжена в симметричный интервал
(,)−l 0 как четным образом (если предполагается разложить ее в ряд по косинусам), так и нечетным (разложение
по синусам).
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
Разложить функцию
π<≤
<<π−+π
=
x
xx
xf
0,0
;0,
)(
в ряд Фурье на интервале (–π, π).
у
π
–π –2π
х
3
π
2
π
π
0

Страницы