ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
(
)
);;(;...
)!12(
)1(...
!7!5!3
sin
12
214106
22
∞+−∞∈+
+
−++−+−=
+
x
n
xxxx
xx
n
n
;...
)!12(
)1(...
!7!5!3
sin
2414106
22
+
+
−++−+−=−
+
n
xxxx
xx
n
n
;...
)!12(
)1(...
!7!5!3
1sin
4484
6
22
+
+
−++−+−=
−
−
n
xxx
x
xx
n
n
....
)!12(
)1(...
!7!5!3
1sin
1
0
44
1
0
8
1
0
4
1
0
1
0
6
22
+
+
−++−+−=
−
=τ
∫∫∫∫∫
−
dx
n
x
dx
x
dx
x
dxdx
x
xx
n
n
Осталось вычислить интегралы:
;...
)!12)(34(
1
)1(...
!79
1
!55
1
!3
1
+
+−
−++
⋅
−
⋅
+−=τ
nn
n
.165,0000,0002,0167,0
−
=
−
+
−≈τ
Замечание. В точке х = 0 значение функции
6
22
sin
x
xx
y
−
= доопределяется суммой соответствующего
степенного ряда, то есть значе- нием
−
6
1
.
3. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения
y = y(x) задачи Коши
=
++=
′
−
.0)0(
;1
y
xyey
y
Решение. Разложение в степенной ряд всякой (дифференцируемой сколь угодно много раз) функции (если это
разложение возможно), должно иметь вид (8). Поэтому достаточно найти лишь его коэффициенты
,
!
)0(
)(
n
y
a
n
n
=
то есть определить числа )0(),0(),0(),0( yyyy
′′′′′′
и т.д. Значение
у(0) = 0 – дано; зависимость y
′
от
х и у известна:
xyey
y
++=
′
−
1
.
В точке х = 0 имеем:
.21)0(01)0(
0)0(
=+=⋅++=
′
−
eyey
y
Далее,
()
yxyyeyxyxyexyey
yyy
′
++
′
−=
′
+
′
+
′
−+=
′
++=
′′
−−−
)(01
(использована формула дифференцирования сложной функции, поскольку у является функцией от х). Подставляя х = 0, у(0) = 0,
′
=y ()02
, получаем:
2002)0(
0
−=++⋅−=
′′
ey .
Осталось найти еще один ненулевой коэффициент. Имеем:
(
)
(
)
yxyyeye
yxyxyyeyyeyxyyey
yy
yyy
′′
+
′
+
′′
−
′
=
=
′′
+
′′
+
′
+
′′
−+
′′
−−=
′
++
′
−=
′′′
−−
−−−
2)(
)()()(
2
и
.10022)2(2)0(
020
=+⋅+−−⋅=
′′′
eey
Подставляя найденные значения в разложение (13), получаем
...
3
5
2)(
32
++−= xxxxy .
13°. Рассмотрим теперь последовательность
{
}
...,2,1, =nz
n
степенных функций переменного iy
x
z
+
=
(где
1,,
2
−=∈ iRyx ) и произвольную последовательность
{
}
n
a комплексных чисел; ...,2,0
=
n Ряд вида
∑
∞
=
=+++++
0
2
210
......
n
n
n
n
n
zazazazaa
называется степенным. При каждом значении z ряд обращается в числовой с комплексными членами, определение сходимости и
суммы которого дается в точности так же, как в п. 1°. Областью сходимости степенного ряда является круг
Rz < некоторого
радиуса
R с центром в начале координат. Как оказывается, внутри этого круга он сходится абсолютно, вне круга – расходится,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
