ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
∑
∞
=1n
n
u (u
n
– произвольны, n = 1, 2, ...) (4)
и если ряд из модулей
∑
∞
=1n
n
u (5)
сходящийся, то и данный ряд (4) – сходящийся. Его сходимость в этом случае называется абсолютной (согласно этому
определению сходимость ряда с положительными членами есть сходимость абсолютная ).
Однако возможен случай, когда ряд (4) – сходящийся, тогда как соответствующий ряд из модулей (5) – расходится.
Сходимость ряда (4) в этом случае называется условной.
Возможен, конечно, и третий случай – ряд (4) – расходящийся.
Исследование обычно начинают с рассмотрения ряда из модулей. В случае его сходимости делают вывод: данный ряд
сходится абсолютно. Иначе (расходимость (8)) ряд (7) абсолютной сходимостью не обладает. Чтобы проверить, обладает ли он
условной сходимостью (или расходится), следует обратиться к исследованию данного ряда (7).
В случае "чередования знаков" его членов используют следующий результат.
9°. Достаточный призрак Лейбница сходимости знакочередуюшихся рядов. Пусть дан ряд
∑
∞
=
−
−
1
1
)1(
n
n
n
u , u
n
> 0, n = 1, 2, ... . (6)
Если (с ростом n) последовательность
{}
u
n
– убывающая и
0lim =
→∞
n
n
u , (7)
то ряд (6) сходится.
Заметим, что:
а) признак не указывает на характер сходимости (абсолютная или условная) ряда (4);
б) если условие (7) не выполнено (см. п. 2°), то ряд (4) – расходящийся.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость:
∑
∞
=
−
+
−
1
1
512
)1(
n
n
n
.
Решение. Имеем знакочередующийся ряд. Ряд из модулей имеет общий член
512
1
512
)1(
+
=
+
−
=
nn
a
n
n
.
Применив признак сравнения в предельной форме (п. 7°, 5°) к полученному знакоположительному ряду, убеждаемся, что он
расходится.
.
Последовательность
{}
n
a ,
512
1
+
=
n
a
n
, убывает с ростом n (так как знаменатель дроби растет, а числитель постоянен) и
0
512
1
limlim =
+
=
→∞→∞
n
a
n
n
n
.
Следовательно (согласно признаку Лейбница), ряд сходится. Поскольку абсолютной сходимостью он не обладает, то сходится
условно.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
10°. Рассмотрим ряд вида
∑
∞
−
+++++=
0
2
210
......
n
n
n
n
n
xaxaxaaxa
,
построенный по степенным функциям y = x
n
и заданной числовой последовательности
{
}
a
n
, n = 0, 1, 2, ... . Он является
важнейшим представителем функциональных рядов. Точка
х = х
0
называется точкой сходимости, если соответствующий числовой
ряд сходится. Областью сходимости степенного ряда, то есть совокупностью всех его точек сходимости, является интервал с
центром в начале координат радиуса R ("радиус сходимости"), то есть (–R, R) либо [–R, R), (–R, R], [–R, R]. Вне этого интервала
степенной ряд расходится.
Заметим, что в интервале (-R, R ) степенной ряд сходится абсолютно.
11°. Рассмотрим задачу: функцию y = y(x), дифференцируемую сколь угодно много раз в точке х
0
и некоторой ее окрестности
(–R, R), представить в виде суммы степенного ряда:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
