Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методические разработки. Нахман А.Д. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
15
8
45
24
)( ==BP
в) C – хотя бы один шар белый. Противоположным к С является событие C – оба шара черных. Следовательно,
.
15
13
15
2
1)(1)(,
15
2
9
3
10
4
)()()(
21
1
=−=−==⋅== CPCPAPAPCP
A
6°. Формула Бернули (повторные испытания). Рассмотрим задачу: имеется n испытаний (событий). Вероятность появления
события А в каждом отдельном испытании постоянна и равна р. Тогда вероятность P
n
(k) того,
что событие А появится ровно k раз в n испытаниях, можно найти по формуле Бернулли
,)(
knkk
nn
qPCkP
−
= где pq −= 1. (2)
7°. При больших значениях n и 0 < p < 1 значение Р
n
(k) можно приближенно вычислить по "локальной" формуле Лапласа
)(
1
)( x
qpn
kP
n
ϕ≈ ,
где
.
2
1
)(;
2
2
x
ex
qpn
npk
x
−
π
=ϕ
−
=
Значения функции ϕ(х) находятся по таблицам, имеющимся во многих учебных пособиях. При этом используется четность
функции ϕ: ϕ(–х) = ϕ(х).
Если количество n опытов велико, то вероятность P
n
(k
1
, k
2
) того, что событие А произойдет не менее k
1
и не более k
2
раз,
можно найти по интегральной формуле Лапласа
)(Ф)(Ф),(
2121
xxkkP
n
−≈ ,
где
.
2
1
)(Ф;;
0
2
2
2
2
1
1
dzex
qpn
npk
x
qpn
npk
x
x
z
∫
−
π
=
−
=
−
=
Значения Ф(х) находят по таблицам. При этом используется нечетность Ф(х):
Ф(–х) = – Ф(х).
8°. Если вероятность Р появления события А в каждом из n опытов мала (n – велико) и λ = nP, то
!
)(
k
e
kP
k
n
λ−
λ
≈ (формула Пуассона).
9°. Рассмотрим так называемый поток событий, т.е. последовательность событий, которые наступают в случайные моменты
времени. Предположим, что вероятность
()
kp
t
появления ровно k событий за промежуток времени длительности t зависит только
от k и t (свойство "стационарности"). При этом считаем, что указанная вероятность не зависит от того, появились или не появились
события потока в момент времени, предшествовавшие началу рассматриваемого промежутка t ("отсутствие последствия") и что
вероятность появления за малый промежуток времени более одного события пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью
появления только одного события (свойство "ординарности"). Поток, обладающий указанными свойствами, называется
простейшим (пуассоновским), а его интенсивностью
λ
называется среднее число событий, которые появляются в единицу
времени. Если
λ – постоянна, то
(
)
kp
t
определяется формулой Пуассона
()
(
)
!k
et
kp
t
k
t
λ−
λ
= .
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых опытах: а) два раза; б) менее двух раз, если
вероятность появления события А в одном опыте
.,p 40=
Решение. а) Пусть событие В состоит в появлении А ровно два раза в пяти опытах. Тогда по формуле (2)
.3456,0)6,0()4,0()2()(
222
55
=⋅== CPBP
б) Если событие С означает появление А менее двух раз, то есть или ни разу (k = 0) или один раз (k = 1), то
.61776,04752,014256,0
6,04,06,04,0)1()0()1или0()(
41
5
500
5555
=+=
=⋅⋅+⋅⋅=+==== CCPPkkPCP
2. Среднее число автомобилей, подъезжающих к АЗС в течение одной минуты, равно трем. Какова вероятность, что в течение
двух минут для заправки топливом к АЗС подъедут 1) ровно четыре автомобиля; 2) не менее двух автомобилей.
Последовательность автомобилей, подъезжающих к АЗС считать простейшим (пуассоновским) потоком событий.
РЕШЕНИЕ. ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ, ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОТОКА 3
=
λ
, ПРОМЕЖУТОК .2
=
t

Страницы