ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Решение. Имеем:
>
≤<−−
−≤
=
′
=
,0,0
;01,2
;1,0
)()(
x
xx
x
xFxf
далее
∫
∫
−
−
−
−
=−−=
−−−=
−=−=−=
0
1
0
1
4
2
2
0
1
0
1
3
.
18
1
9
4
4
2
3
2
)2()(
;
3
2
3
2
)2()(
xdxxxXD
xdxxxXM
14°. Генеральная совокупность и выборка. Пусть имеется множество, состоящее из конечного (но достаточно большого)
числа некоторых объектов и изучается количественный признак Х, так что каждый объект характеризуется одним из возможных
значений x
i
величины Х. Такое множество назовем генеральной совокупностью; в свою очередь, совокупность из n случайно
отобранных объектов назовем выборкой объема n. Пусть n
1
объектов из выборки характеризуются значением х
1
, n
2
объектов –
значением х
2
, ..., n
k
объектов – значением x
k
. Числа х
1
, х
2
, ..., x
k
называются вариантами; соответственно, n
1
, n
2
, ..., n
k
– их
частотами, а таблица, задающая соответствие между ними – вариационным рядом.
Относительными частотами значений x
i
называются соответствующие числа вида w
n
n
i
i
= , где ;...
21 k
nnnn +++=
справедливо соотношение w
1
+ w
2
+ ... + w
k
= 1.
15°. Выборочная средняя
в
x есть среднее арифметическое всех наблюдаемых (в выборке) значений x
i
. Нетрудно установить,
что:
∑
=
=
k
i
ii
wxx
1
в
или
....
2
2
1
1в
n
n
x
n
n
x
n
n
xx
k
k
+++=
(3)
Степень рассеяния значений х
i
относительно их средней
в
x характеризуется выборочной дисперсией
2
в
2
2
2
2
1
2
1в
)()(...)()( x
n
n
x
n
n
x
n
n
xD
k
k
−+++= . (4)
16°. Статистические оценки параметров распределения. Предположим, что нас интересует неизвестное значение θ некоторого
параметра, характеризующего количественный признак Х генеральной совокупности. Проводятся эксперименты, в результате
которых получаем соответствующие значения параметра θ
∗
, дающие некоторое представление о величине θ. Точечной оценкой
параметра θ называют оценку, которая определяется одним числом (например, оценка среднего значения Х генеральной
совокупности есть выборочная средняя). Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами
интервала. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки θ по θ
∗
называют вероятность γ, с которой осуществляется
неравенство
γ=θ−θ
∗
. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99; 0,995. Интервал (θ
∗
– δ, θ
∗
+ δ) называют
доверительным интервалом.
17°. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ. Пусть
количественный признак Х генеральной совокупности распределен с плотностью
2
2
2
)(
2
1
)(
σ
−
−
πσ
=
ax
exf
("нормальное
распределение"); здесь параметр а есть значение математического ожидания, σ – среднее квадратическое отклонение (для Х).
Предположим, что среднее квадратическое отклонение σ этого распределения известно, и извлечена выборка объема n. Требуется
оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней
в
x с заданной надежностью γ. Пусть t – значение
аргумента функции Лапласа Ф(t) (п. 7°), для которого γ = 2Ф(t). Тогда
)(Ф2
в
t
n
taxP =
δ
<− .
Число t определяется из равенства
.
2
)(Ф
γ
=t Следовательно, с надежностью γ доверительный интервал
σ
+
σ
−
n
tx
n
tx
вв
,
покрывает неизвестный параметр а; точность оценки есть
n
t
σ
=δ .
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Известен вариационный ряд
х
i
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
n
i
10 25 40 15 10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
